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考研数学冲刺概率与数理统计
一、基本概念总结
1、概念网络图
2、最重要的5个概念
(1)古典概型(由比例引入概率)
例1:3男生,3女生,从中挑出4个,问男女相等的概率?
解:
例2:有5个白色珠子和4个黑色珠子,从中任取3个,问其中至少有1个是黑
色的概率?
解:
(分子分母同序)
(2)随机变量与随机事件的等价(将事件数字化)
例3:已知甲、乙两箱中装有两种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:
乙箱中次品件数X的数学期望。(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
解:(1)
(变量与事件等价)
(2)“从乙箱中任取一件产品是次品”,
(等价性)
例4:将一枚均匀硬币连掷三次,以X表示三次试验中出现正面的次数,Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值,求(X,Y)的联合分布律。
解:正面; 差
反面次数
(3次反面)
(1正2反)
(2正1反)
(3正)
(3)分布函数(将概率与函数联系起来)
(4)离散与连续的关系
例5
(5)简单随机样本(将概率和统计联系在一起)
样本是由n个同总体分布的个体组成的,相当于n个同分布的随机变量的组合(n维随机变量)。
例6:样本的是已知的,个体(总体)的未知,矩估计:,完成了一个从样本到总体的推断过程。
二、做题的19个口诀(概率16个,统计3个)
1、概率
(1)题干中出现“如果”、“当”、“已知”的,是条件概率。
例7:5把钥匙,只有一把能打开,如果某次打不开就扔掉,问第二次打开的概率?
解:
例8:设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取的两件中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为。
解:
(2)时间上分两个阶段的,用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。
例9:玻璃杯成箱出售,每箱20只,设各箱含0,1,, 。一顾客欲购买一箱玻璃杯,由售货员任取一箱,而顾客开箱随机地察看4只;若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回。试求:
(1)顾客买此箱玻璃杯的概率;
(2)在顾客买的此箱玻璃杯中,确实没有残次品的概率。
解:“顾客买下此箱玻璃杯”,
“顾客取的一箱中有只残次品”,
(1)
(2)
(3)“只知次数,不知位置”是“二项分布”。
例10:抛5次硬币,其中有3次正面朝上的概率?
例11:1对夫妇生4个孩子,2男2女的概率?
解:
例12:某厂家生产的每台仪器,,,,。现该厂新生产了台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立),求
全部能出厂的概率α;
恰有两台不能出厂的概率β;
至少有两台不能出厂的概率θ。
解:
(1)
(2)
(3)
=1-(0台不能出厂)-(1台不能出厂)
(4)“先后不放回取”≡“任取”,是“超几何分布”。
例13:5个球,3红2白,先后不放回取2个,2红的概率?
解:
例14:5个球,3红2白,任取2个,2红的概率?
解:
(5)“