文档介绍：谈概率论及其应用
摘要本文论述了一些概率计算的基本公式,如独立事件,古典概型,条件概率,全概率公式,Bayes公式及独立试验和Bernoulli概型等,并介绍了随机变量的两个数字特征——数学期望,方差的概念,通过它们在实际生活中应用的简单例子,如掷骰子,对某种疾病的预测等,得出了概率论对于解决大量现实生活问题有着极其重要的作用的结论。在实际生活中可应用到游戏、医疗、比赛、经济等方方面面,从大量看似偶然的事件中寻找出解决问题的一般规律,应用概率计算的基本公式从而得出需要求出的事件所发生的概率,由此可避免或减少许多不必要的麻烦。而通过对数学期望和方差概念的了解,能够对分布列的整体及优劣程度做出判断,从而能够更快更准确地把握随机变量的整体性质。可见,概率论这门数学对于解决大量现实问题有着巨大的作用。但本文论述的有关概率论的基础知识都是非常简单和基础的,有关概率计算的知识还很多,那么与之相关的应用范围也必将更为广泛。
关键词概率独立事件数学期望方差
引言
我们都知道明天早上的太阳将从东方升起,这是必然发生的事。但世界上有更多的事在我们看来是带有偶然性的,从一副扑克牌中任抽一张,是红是黑,无法预知,这就是偶然的。但在大量的偶然事件中,却也存在着规律性,例如:反复多次抽取扑克牌,会发现抽到红牌或黑牌的次数大体上各占一半,这就是规律,这种规律称之为统计规律,这一类试验称为随机试验。试验所代表的现象称为随机现象。
在我们生活中,每天都会有不能预先确定的事情发生。学生不能肯定明天考试时会碰到什么题目,球迷无法预知下场比赛鹿死谁手,炮手不知一发炮弹打出去能否命中目标。面临这些不确定的事件,我们应如何决策?这就需要研究大量发生的似乎是偶然的事件的一般规律。概率论这门数学,就是研究大量偶然事件发生的宏观数量规律的学问。
一怎样寻找概率
一般地,设E为一试验,如果不能事先准确地预言它的结果,而且在相同条件下可以重复进行,就称随机试验。随机试验的每一个可能的结果,称为基本事件,它们的全体,称作样本空间。通常用表示基本事件,用表示样本空间。
例1 E——掷一枚普通的硬币而观察所出现的面;—正,—反,于是,由两个基本事件构成,即;
例2 E——自标号为的几个同样的灯泡中任取其一,—取得第号,。这时如果简记为,则得{};
例3 E——计算某电话交换台在上午九点钟内所得到呼唤次数。—得次呼唤;如果简记为,则得{}。
抛掷一枚硬币,看它落地后是正面朝上还是反面朝上,可以占卜,或决定一件事,或赌输赢,很早有人就这么做了。大家相信,用均匀的硬币来赌正反面,是公平的游戏。因为出正面与出反面机会均等,各占一半,用数学语言来说,就叫做“出正面的概率是,出反面的概率也是”。事实果然不错当人们多次抛掷时,出正面的次数与总抛掷次数之比往往很接近。
如果连投3次,至少出现两次正面的概率是多少呢?现在我们来分析一下,连投3次,可能有8种情形:
正正正正正反正反正正反反
反反反反反正反正反反正正
这8种情形机会均等,每种情形出现的概率都是,其中有四种情形至少出现两次正面,所以,3次出现两次正面的概率是。
这种情形,叫做8个“基本事件”,而“至少出现两次正面”也是一个
“事件”,它可以分解成一些基本事件。把一个“事件”分解成几个基本事件,把基本事件的概率加起来,便是这个事件的概率。这是寻找概率的基本方法。
例掷骰子比掷钱币情况复杂一些,骰子有6面,各面分别是1点到6点,均匀的骰子,每个面朝上的机会均等,概率都是,均匀的骰子,每个面朝上的机会均等,概率都是,如果只掷一次,基本事件就有6个。“出偶数点”这个事件由3个基本事件组成,概率为,“点数大于2的概率为。连掷两次骰子,基本事件就有36个,机会均等,概率各占”。两次的点数之和大于5这个事件包含了(1,6)(1,5)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)
(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6),其26个基本事件,它发生的概率是。
可见,应用概率论来解决生活中看似偶然却存在规律的事件,可使其明朗化,简单化。
事实上,用这种方法计算概率比较麻烦。对于更复杂的问题,概率论提供了许多公式来计算概率。
二概率计算的有关公式
其中最基本的公式是加法公式若A和B是不可能同时发生事件,则
A和B至少有一个发生的概率=A的概率+B的概率。
定义事件之间的关系
1°包含数若事件A发生必然导致事件B的发生,则称A包含于B。记作;
2°相等若且称A与B相等记作A=B;
3°差的关系若A发生,B不发生所形成的事件,称为A与B的差,记作 A-B=A