文档介绍：第十讲级数(数一,数三)
一、知识网络图
充要条件
二、重点考核点
这部分的重点是:
①数项级数的敛散性判别与某些数项级数的求和(敛散性包括绝对收敛还是条件收敛).
②求幂级数的收敛区间与收敛域.
③怎样求幂级数和函数,怎样求函数的幂级数展开式.
④怎样求函数的傅氏级数及如何确定它的和函数(只对数一).
§1 级数的基本概念与性质
,存在,则称级数收敛,并称极限值S为该级数的和,记为= ,:
(1)级数收敛的必要条件:若级数收敛,则.
由此可知,若,则级数必发散;但,:调和级数虽满足,但发散.
(2)收敛级数的线性运算性质:若级数与都收敛,A与B是两个常数,则级数必收敛,且.
由此可知,若在级数与中一个收敛一个发散,则级数必发散.
(3)收敛级数的顺项可括性质:若级数收敛,则不改变级数各项的顺序加括号所得的任何新级数仍收敛,且级数的和不变.
例如:若级数收敛,则将其相继两项或相继三项加括号所得的级数都收敛,且.
性质(3)有两个重要的推论:推论1,若某级数有一个顺项加括号所得的级数发散,,若级数满足,又其相继两项加括号所得的级数收敛,则级数必收敛,且(证明见例1),但是,一般说来,仅从某级数有一个顺项加括号所得的级数收敛,却未必能得出原级数收敛.
例如:级数1-1 + 1-1 + 1-1 + …发散,但其相邻两项加括号所得的级数(1-1) + (1-1) + (1-1) +
…却是收敛的.
(4)从级数中任意去掉有限项,或添加,或改变,都不影响级数的敛散性.
从而在讨论级数的敛散性时可以只考虑从某项以后的项组成的新级数的敛散性.
【例1】设的部分和为Sn(n = 1,2,3,…),且满足(或),求证级数收敛,且,即级数的和为S.
【例2】讨论级数的敛散性.
【例3】求级数的和.
【解】
考察部分和.
【例4】设数列{bn}:,其中l是某自然数.
【例5】已知,求.
§2 判别级数敛散性的方法
Ⅰ.正项级数
若un≥0(n = 1,2,…),则称为正项级数.
正项级数的特点是它的部分和满足S1≤S2≤S3≤…≤Sn≤…,从而,正项级数收敛的充分必要条件是:存在常数M,使得级数的部分和满足Sn≤M(n = 1,2,…)
正项级数的收敛判别法:
(1)比较判别法
两个正项级数之间,可以通过比较它们通项的大小,从其中一个级数已知的敛散性来判断另一个级数的敛散性.
设和都是正项级数,若0≤un≤(n = 1,2,…),则当收敛时有收敛;当发散时有发散.
比较判别法还可以写成极限形式:
若,则当时,从收敛可得收敛;当时,从
发散可得发散.
称为p级数,当p>1时p级数收敛;当p≤: 若,则当且p>1时,级数收敛;当且p≤1时,级数发散.
(2)比值与根值判别法
若正项级数满足或,则当时收敛;当时发散.
Ⅱ.交错级数,绝对收敛与条件收敛
即有无穷多个正项又有无穷多个负项的级数称为一般项(或任意项):若un>0(n = 1,2,…),则称为交错级数.
莱布尼兹判别法:若u1≥u2≥u3≥…un≥…,且,则级数收敛.
交错级数的一种常见形式是它的通项,则函数f(x)在x≥,若函数当x大于某一正数时单调减少或,且,则交错级数收敛.
一般项级数的绝对收敛与条件收敛:若收敛,则称级数绝对收敛;若发散但收敛,,交错p级数当p>1时绝对收敛,当0<p≤1时条件收敛,而当p≤:
(1)级数绝对收敛Û级数与都收敛.
(2)级数条件收敛Þ级数与都发散.
(3)级数与一个收敛一个发散Þ级数发散.
【例1】判断下列级数的敛散性
(1) (2)
【例2】讨论下列级数的敛散性
(1)(是常数) (2) (3)
解:(1)因Þ原级数收敛.
(2)>1时,取a,因
,及收敛Þ原级数收敛.
(3)<1时,取,p<<1,因及.
【例3】判断下列级数的敛散性
(1),其中正项级数收敛.
(2)其中{xn}是单调上升有界的正数列.
【分析与解法】(1)是收敛的正项级数Þ部分和Sn = a