文档介绍：,会判断直线与椭圆的位置关系.(重点)、中点弦问题.(难点),、中点弦问题及椭圆综合问题的学****提升学生的逻辑推理、(x0,y0)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系:点P在椭圆上⇔+=1;点P在椭圆内部⇔+<1;点P在椭圆外部⇔+>=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系:>0相切一解Δ=0相离无解Δ<0思考:(1)过原点的直线和椭圆相交,两交点关于原点对称吗?(2)直线y=kx+1与椭圆+=1有怎样的位置关系?[提示] (1)根据椭圆的对称性知,两交点关于原点对称.(2)直线y=kx+1恒过定点(0,1),点(0,1)在椭圆+=1的内部,=x+1与椭圆x2+=1的位置关系是( ) [联立消去y,得3x2+2x-1=0,Δ=22+12=16>0,∴直线与椭圆相交.]+2y=m与椭圆+y2=1只有一个交点,则m的值为( ) B.±C.±2 D.±2C [由消去y并整理得2x2-2mx+m2-4==4m2-8(m2-4)=0,得m2=8.∴m=±2.](a,1)在椭圆+=1的内部,则a的取值范围是________.(-,) [∵点A在椭圆内部,∴+<1,∴a2<2,∴-<a<.]+=1的一条弦被点(4,2)平分,那么这条弦所在直线的斜率是________.- [设此弦的两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则有+=1,+=1,两式相减,得+=0,又x1+x2=8,y1+y2=4,∴=-,即此弦所在直线斜率为-.] 直线与椭圆的位置关系【例1】对不同的实数值m,讨论直线y=x+m与椭圆+y2=:―→―→―→[解] 联立方程组将①代入②得:+(x+m)2=1,整理得:5x2+8mx+4m2-4=0.③Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2).当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,代入①可得两个不同的公共点坐标,此时直线与椭圆相交;当Δ=0,即m=±时,方程③有两个相等的实数根,代入①得一个公共点坐标,此时直线与椭圆相切;当Δ<0,即m<-或m>时,方程③无实根,,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则Δ>0⇔直线与椭圆相交;Δ=0⇔直线与椭圆相切;Δ<0⇔:.(1)若直线y=kx+2与椭圆+=1相切,则斜率k的值是( )A. B.- C.± D.±C [由得(3k2+2)x2+12kx+6=0,由题意知Δ=144k2-24(3k2+2)=0,解得k=±.](2)直线y=kx-k+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点,则m的取值范围是________. [直线y=k(x-1)+1恒过定点P(1,1),直线与椭圆总有公共点等价于点P(1,1)+≤1,即m≥,又0<m<5,故m∈.] 弦长及中点弦问题【例2】过椭圆+=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分.(1)求此弦所在的直线方程;(2):(1)法一:联立方程,:点差法.(2)设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),利用弦长公式求解.[解] (1)法一:设所求直线方程为y-1=k(x-2).代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个根,于是x1+x2=.又M为AB的中点,∴==2,解得k=-.故所求直线的方程为x+2y-4=:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).又M(2,1)为AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=,B两点在椭圆上,则x+4y=16,x+4y=(x-x)+4(y-y)=(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.∴=-=-,即kAB=-.又直线AB过点M(2,1),故所求直线的方程为x+2y-4=0.(2)设