文档介绍：:..第一章复数与复变函数一、复数几种表示(1)代数表示z=x+yi(2)几何表示:用复平面上点表示(复数z、点z、向量z视为同一概念)(3)三角式:z=r(cos&+zsin&)(4)指数式:z=reie辐角Argz=argz+Zk7t|z|=W+byarctan—,x>0,xyarctan—+ j>0argz=<xarctan—-.r,x<0,y<0龙/2,x=0,y>0一兀2x=0,y<0z-zy=—2i二、乘幕与方根(1)乘幕:=reie, 2£/r+argz.(2)方根:Vz=i\l\~z\e" ,£=0,1,2,.・f-1第二章解析函数一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数求导法则与一元实变函数类似函数点解析的定义:函数在一点及其点的邻域内处处可导注:(1)点解析=>点可导,点可导推不出点解析(2)区域内解析与可导等价二、 定理1如=/匕)=弘+"在2()可导0况,*在2()可微,满足C・R方程定理2w=/Xz)=u+z»在区域D内解析(可导)O仏「在区域D内可微,满足C・R方程讨论1 <1在区域D内4个偏导数存在冃连续,满足C-R方程=>w=/(z)=u+iv在区域D内解析(可导)三、 解析函数和调和函数的关系1、 定义1调和函数:满足拉普拉斯方程,且有二阶连续偏导数的函数。定义2设如,刃,妙(x,y)是区域D内调和函数,-R方程,(p严屮加(p、、=S则称妙是。的共辘调和函数。2、 定理1解析函数的虚部与实部都是调和函数。定理2函数在D内解析o虚部是实部的共轨调和函数。3、 问题:已知解析函数的实部(或虚部),求虚部(或实部)理论依据:(1) 虚部、实部是调和函数。(2) 实部与虚部满足C・R方程。求解方法:(例如已知Q(1) 偏积分法:先求Ux,uy,再求u=^uxdx+(p{y},得出0(y)(2) 利用曲线积分:求ux,uv,du,再w=f(A?)uxdx+uxdy+cJ(Xo』o) ?(3) 直接凑全微分:求比,叭,血,再创四、初等函数1>指数函数w=ez=exeiy=ex(cosy+isiny)性质:(1),是单值函数,(2)孑除无穷远点外处处有定义(3)ez7^0(4) H处处解析,(/)'=,(5) 沪沪(6) ,是周期函数,周期是2&加2、对数函数如=厶〃z=In|z|+zargz+z2^ (多值函数)主值(枝)Inz=In|z14-zargz (单值函数)性质:(1)定义域是zHO,(2) 多值函数(3) 除去原点和负实轴的平面内连续(4)除去原点和负实轴的平面内解析,(Inz)'=—z,(5)Ln(z}z2)=Lnz}+Lnz^Ln—22=Lq_Lnz^3、幕函数w=zj严征(ZHO,G是复常数)(1) 。为正整数,函数单值、处处解析,(2) 。为负整数,函数单值、除去z=o及其负实轴处处解析,4、三角函数欧拉公式 elG=cos&+isin&cos&=2sin0=2i定义:cosz=9• e12sinz=—e~iz2itanz=sinz/cosz,cotz=cosz/sinzsecz=1/cosz,escz=1/sinz性质:周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样各种三角公式、求导公式照搬注:sinz