广义Fermat商中的平方数和立方数.pdf

文档介绍：2012年12月第28卷第6期纯粹数学与应用数学Pure and Applied MathematicsDec. 2012Vol. 28 No. 6广义Fermat商中的平方数和立方数李江华(西安理工大学理学院,陕西西安710048)摘要:设p是奇素数,a和b是适合a > b, gcd(a, b) = 1以及p-,证明了当p >13时, (ap?1?bp?1)/p不是平方数;当p >7时, (ap?1?bp?1)/:广义Fermat商;平方数;立方数;三项Diophantine方程中图分类号::A文章编号:1008-5513(2012)06-0774-051引引引言言言及及及结结结论论论设Z,:对任何适合a >1以及p-a的正整数a,必有p|ap?1?1 (参见文献[1]).因此,ap?1?1/p是正整数,,文献[2]解决了Fermat商中的平方数问题,该结果运用方程的形式可表述为:xp?1?1 =py2, x, y∈N, x >1()仅当p= 5和7时各有一组解(x, y) = (3,4)和(2,3).另外,文献[3-4]:对于任何适合a > b, gcd(a, b) = 1以及p-ab的正整数a和b,必有p|ap?1?bp?1,所以形如(ap?1?bp?1)/, >13时,方程xp?1?yp?1=pz2, x, y, z∈N, x > y,gcd(x, y) = 1()无解(x, y, z). >7时,方程xp?1?yp?1=pz3, x, y, z∈N, x > y,gcd(x, y) = 1,2-z,()收稿日期:2012-05-:陕西省自然科学基金(2012K06-43);陕西省教育厅专项计划基金(12JK0874).作者简介:李江华(1980-),博士,研究方向::广义Fermat商中的平方数和立方数775无解(x,y, z).由于广义Fermat商中的完全方幂问题与广义Fermat猜想有直接的联系(参见文献[5]的问题B19),因此本文对此提出以下猜想:猜猜猜想想想1当p >7时,广义Fermat商都不是完全方幂,即方程xp?1?yp?1=pzn, x, y, z, n∈N, x > y,gcd(x, y)>1, n >1,()无解(x, y, z, n).≥3的正整数时,方程Xn+Yn=Zn, X, Y, Z∈N,gcd(X, Y) = 1(2.