文档介绍：正定矩阵的判定姓名:郑莎莎学号:200640501443指导老师:李群摘要:鉴于正定矩阵的重要性及其应用的广泛性,本文给出了正定矩阵判定的若干等价条件并逐条予以证明,并辅助典型例题。关键词:正定矩阵;正交矩阵;判定;特征值;正定二次型一、利用定义(一)n阶实对称矩阵A称为正定矩阵,如果对于任意的n维实非零列向量X,都有TXAX0>。正定的实对称矩阵A简称为正定矩阵,记作0A>。例1设A是正定矩阵,P是非奇异实方阵,则TPAP也是正定矩阵。证明:因为A是实对称阵,故TPAP显然也是实对称阵,又对任何实的非零列向量X,由于PX≠0(P是非奇阵),故()TTXPAPX0>,即TPAP是正定阵。=12xx???????≠0,二次型'XAX是正定二次型。???????是正定矩阵的充分而且必要条件是id>0(i=1,2,n)。'XAX的秩与符号差都等于n。二、利用主子式(一)n阶实对称矩阵A的一切顺序主子式都大于0,则A为正定矩阵。证明:对n作数学归纳法。当1n=时,()21111fxax=,由条件11a>0,显然有()1fx是正定的。假设该论断论断对1n-元二次型已经成立,现在来证n元的情形。令111,111,11,1nnnnaaAaa----???=????,11,nnnaaα-???=????于是矩阵A可以分块写成1'nnAAaαα??=???。既然A的顺序主子式全大于零,当然1A的顺序主子式也全大于零。由归纳法假定,1A是正定矩阵,换句话说,有可逆的1n-级矩阵G使'11nGAGE-=,这里1nE-代表1n-级矩阵。令1001GC??=???,于是'11CAC='001G?????1'nnAaαα?????001G?????='1'nnnEGGaαα-??-???再令'1201nEGCα-??-=???,有''=1'01nEGα-???-??'1'nnnEGGaαα-??-???'11nEGα-??-???=1''00nEGGαα-???-??=,''nnaGGaαα-=,有'CAC=11a????????两边取行列式,2CA=a。由条件,A>0,因此a>0。显然11a????????=11??????111????????11??????这就是说,矩阵A与单位矩阵合同,因之A是正定矩阵。例2判断二次型12111nniiiiifXXX-+===+∑∑是否正定。解:二次型f的矩阵为三角矩阵1**********???????????????A的任意的k阶顺序主子式()1102kkAk??=+>???,所以矩阵A为正定矩阵,原二次型为正定二次型。(二)n阶实对称矩阵A的一切主子式都大于0,则A为正定矩阵。证明:设kiA是A的一个k阶主子矩阵,由于kiA的任意一个顺序主子式均为A的一个主子式,所以它们都大于0。所以为kiA正定矩阵。例3证明若A称为正定矩阵,则A的一切主子式都大于0。证明:(反证法)设A=()ijnna?是正定矩阵,若存在k阶主子矩阵1**********,0kkkkkkkkiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiaaaaaaAAaaa=<则由于kiA是阶实对称矩阵,由引理知存在k阶正交矩阵使12(,,,)kTikAUdiaguuuU=,其中12,,,kuuu为kiA的特征值。由于kiA<0,且kiA=12kuuu知kiA的特征值12,,,kuuu中至少有一个小于0。不失一般性,设1u<0,令TY=()1,0,,0U,则Y≠0且kTiYAY=1u<0,再令TX=12(,,,)nxxx,当{}12,,,kiiii∈时,iixy=;当i为其他时,0ix=。则X≠0,且TXAX=kTiYAY=1u<0,这与A为正定矩阵的假设矛盾。(三)n阶实对称矩阵A的一切顺序主子矩阵都是正定矩阵,则A为正定矩阵。证明:由于A的一切主子矩阵都是正定矩阵,A也是它自身的一个主子矩阵,所以A也是正定矩阵。例4t取何值时,二次型222112**********fxxxxxxtxxx=+-+++是正定二次型。解:二次型f对应的矩阵为111122125Att-???=??-??,要使二次型f正定,必须A的各顺序主子式全大于零,即满足110d=>,21112d=10=>,3111122125dAtt-==-=()24430tt-+->。得到3122t-<<,所以当31,22t??∈-???时,二次型f为正定二次型。三、利用标准型(一)A合同于n阶单位矩阵E,则A为正定矩阵。证明:若A合同于E,则存在可逆矩阵B,使得A=TBEB。任取X≠0,BXY==()12,,Tnyyy,则Y≠0。于是TTTTXAXX