文档介绍：第5章因子設計簡介
Chap 5. Introduction to Factorial Design
5-1 基本定义与原理(Basic Definitions and Principles)
实验牵涉2个或更多因子欲研究其效果时,一般而言,因子设计(Factorial Design)是最有效率的方法,『因子设计』意指每一次完整的试验或反复,当中所有可能的因子水准组合都被测试过。如,因子A有a个水准、因子B有b个水准、则每次反复有ab种处理,(A1 , A2 , A3 ; B1 , B2 , A´B= A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2),当因子以因子设计方式安排,则称之为『交叉的』(Crossed)。
- (低)
40
B
因子
A因子
20
30
-
(低)
+(高)
+
(高)
52
一因子(如A)的效果定义为此因子改变其水准(A1, A2, A3 )所产生反应的改变,此通称为『主效果』(Main Effect)---针对实验中欲研究之首要因子。如图5-1的简单2因子之因子设计实验,
图5-1 一个2因子之因子实验(角上数字为反应值y)
其中假设因子均有2水准,称为”低”与”高”,分别以”-”与”+”表示之。在这2水准中,因子A的主效果可视成A的低水准的平均反应与A的高水平的平均反应之差,
A = (40+52)/2 - (20+30)/2 = 21
即,增加因子A从低水准到高水平造成『平均反应增加』(Average Response Increase) 21个单位,同理,因子B的主效果为,
B = (30+52)/2 - (20+40)/2 = 11
倘因子水准超过2个,上述程序须修正之,后续详述。
某实验中,可能发现某因子水准间反应的差异在其它因子的各水准下是不同的,此称之为因子间有交互作用(Interaction),如图5-2所示,
- (低)
50
B
因子
A因子
20
40
-
(低)
+(高)
+
(高)
12
图5-2 一个2因子有交互作用之因子实验

在因子B低水准(B-)下,因子A的效果,A = 50 - 20 = 30
在因子B高水平(B+)下,因子A的效果,A = 12 - 40 = -28
因子A的效果与所选的因子B的水准有关,故称A与B之间有交互作用,而交互作用大小即两个A的效果差之平均,
AB = (-28 – 30)/2 = -29
此实验交互作用很大。上述概念可以图示之,
- (低)
B+
反
應
A因子
+(高)
B+
B-
B-
图5-3 无交互作用之因子实验
- (低)
B+
反
應
A因子
+(高)
B+
B-
B-
图5-4 有交互作用之因子实验
另一种交互作用的概念,一因子实验为2因子之回归模式(Regression Model Representation)为,
y = b0 + b1 x1+ b2 x2 + b12 x1x2 + e
式中,y是反应值、b’s是待估计之参数、x1是代表因子A的变量、x2是代表因子B的变量、与 e 是随机误差。另变量x1与x2是定义由-1至+1 (A与B的低与高水平)的编码尺度(Coded Scale)、与x1x2代表x1与x2间之交互作用。
此回归模式的参数估计值与效果估计值有关,如图5-1所示的实验,
A与B的主效果为A = 21 与B = 11,而 b1 与b2 的估计值为其所对应主效果的一半,即= 21/2 = 、= 11/2 = ,
交互作用效果AB = 1,故= 1/2 = ,
b0 以全部(4个)反应值平均估计之,即= (20 + 40 + 30 + 52)/4 = ,则配适后之回归模式为,
= + + +
对于所有因子都是2水准( - 与+ )之因子设计,此种方式得到的参数估计值事实上是最小平方法(后详述之)。
交互作用系数(= )相对于效果系数与是小的,即意交互作用很小而可忽略,所以,回归模式为,
= + +
(a) 反应曲线(Response Surface)
图5-5 反应曲线与等高线( = + + )
等高线(Contour)是x1与x2为常数时对应反应值y之曲线,反应曲面图(Response Surface Plot)系y曲面是由x1与x2值之组合所产生,『既然反应曲面是一个平面,所以等高线是一平行直线』。
兹假设交互作用对此实验的贡献是不可忽略的