文档介绍：关于丢番图方程x^m—1/x—1=y^n和x^m+1/x+1=y^n(2×m)关于丢番图方程x^m—1,x—1=y^n和x^m,1,x,1=y^n(2×m)MUNIO_TIONSUNIVERSITY?.17No1Mar2001文章编号:1000—9779(2001)0l一0001—03关于丢番图方程一上和(m)陈文静(长沙变通学院信息与计算科学拳,湖南长沙410076)摘要:用初等方法讨论了方程}="和号岩="(孙m):丢番图方程;模;同余式中田分类号:O1567文献标识鸸:A设k是大于1的整数,此时,任何给定的正整数4都可唯一地表示成['】:?=b0+blk+…+:t?0为整数;b(0,1,…,t)是满足O?b?,4称为k—adic重单位数,此时4满足n=(k一1)/(k一1).数论,群论和组合数学中的许多重要问题都与重单位数的完全方幂有关[],此类问题最后都可归结为方程m一1_二平=Y,Y,,?N?>1,Y>1,仇>2,>1(1),许多数学家如Ljungyren,,Shorey,Tijdeman,乐茂华,(1)仅有正整数解(,Y,.):(7,20,),(3,11,),(,3,3)uggren在文献[6]中证明了定理1当:2时,方程(1)仅有正整数解(,Y,,):(7,,2),(3,1l,5,2)"证明了定理2方程(1)仅有有限多组正整数解(,,n)适合y=--i(modx)及z是素数的方幂,而且这些解都满足<,袁平之用相同的方法去掉了定理中的z是素数方幂的条件,并且对方程等=x~y,m.?N.>1,>l,>1,2仇.>,孙琦在文献[9]中讨论了z='一1=g?,?N,>2,>1仅有解(q,,n)=(11,5,2).,:2000—09—27作者筒介:胨文静(1963一),(2)长沙交通学院第17卷定理3方程=q(q?P,>2,>1,q>1,n>1,m,,?N)若有解(m,,,q),则=2,q=11,?=5.:3或n1(rood2),?=P(n?1),并且若=P为其解,?:P一,P一,…~0(mod2),方程变为=(口),其中n=2k,由定理1知方程仅有解(,,卅,)=(7,20,4,2)及(3,11,5,2),注意q?P,此时方程给出解=2,q=11,m=5,z=;1(rood2),且m不为素数或素数幂,即?P(.?1),则由标准分解式m=p,挈,…,肋(?2,n?1),可设n=p,b=庳,…,,故m=ab,(?,)=1,n>1,b>1,代人方程得(一1)(()b-+()+???+.+1]=(一1)q因z一1----0(modx一1),且q?P,故有:一1