文档介绍：· 课外园地· 数学通讯一年第期下半月
一道年克罗地亚州赛试题的探究
田富德
福建省大田第一中学,
克罗地亚的高中是四年制的,年克罗地亚,则它们至少有一个角在集合,誓,⋯,
国家数学竞赛州赛三年级试题中有一题如下:
试题设, ,.
明:若,,满足,则它们证明十
之中有一个角为。. 一一卢
初看此题,笔者注意到条件中角的系数与试题乍口
∞∞
考如下问题:
设,,, , ∞
满足,那么它们之中是否
铮丢或。十巡亏:.
有一个角为呢答案是否定的,那这样三角形的
若堕,则是忌∈
内角又有什么样的特征呢
当时,对于三角形的三个内角,口,,,显,即有十∈.
:
又卢兀,则兀,解之忌
定理设,,为某三角形的三个内角,则
不存在,,满足. 号,从而走,,⋯,旦.
当时,我们同样可以得到以下结论:
此时有,,:一。: 一垒是:
,
定理设,,为某三角形的三个内角,则,
不存在,,满足十十. . 一
, ,
, , 满足
即:兀一,丌一,⋯,丌一,即,:
,
【【一丁
而, , ‘
、
—口若,化简整理
可得掣.
易知卢,则卢≠,从而
式可等价于—十, 不妨设等,则号是兀忌∈,即
化简可得,这是不可能的,从而定有: ∈.
理得证.
又,则,解之一
对于≥,我们采取分奇偶分析的方式,现以扎
定理的方式陈述如下: ,从而忌,,,⋯, .
定理设,,为某三角形的三个内角,设
于是, , ,⋯, .
≥为奇数,若, ,满足
数学通讯一年第期下半月·课外园地·
堑⋯丝二
综合,,,至少有一个角在集合, ’’’。
⋯
, , 中,于是定理成立. 若,化简整理可
显然,年克罗地亚州赛试题可看成定理
得.
的特殊情形.
定理设,,为某三角形的三个内角,设不妨设,则等志丌志,即有
,、,
≥为偶数,若,, 满足十绁
.
,,则它们至少有一个角在集合, ,⋯,
又口,则丁,解之昙,从
二
冲.
而,,⋯, .
证明十铮十
.