文档介绍：三角形图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。 线段和差不等式,移到同一三角去。三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。由角平分线想到的辅助线:①从角平分线上一点向两边作垂线; ②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。 通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。 (一)截取构全等 例1:已知,如图AB//CD,BE、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。 例2: 如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,∠C=2∠:AB=AC+CD. 分析:此题的条件中还有角的平分线,在证明中还要用到构造全等三角形,此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的,在长的线段上截取短的线段,来证明。试试看可否把短的延长来证明呢?例3. 已知:如图1-3,AB=2AC,∠BAD=∠CAD,DA=DB,求证DC⊥AC例4已知:如图1-4,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,求证:AB-AC=CD(二)、角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。 例3: 如图2-1,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证:∠ADC+∠B=180 例4: 已知如图2-3,△相交于点P。求证:∠BAC的平分线也经过点P。例5:如图∠AOP=∠BOP=15 ,PC//OA,PD⊥OA,    如果PC=4,则PD=(   )例6:已知:如图2-6,在正方形ABCD中,E为CD 的中点,F为BC    上的点,∠FAE=∠DAE。求证:AF=AD+CF。例7:已知:如图2-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90 ,CD⊥AB,垂足为D,AE平分∠CAB交CD于F,过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。(三)、作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交,则截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。(如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交)。例9:已知:如图,∠BAD=∠DAC,AB>AC,CD⊥AD于D,H是BC中点。求证:DH=(AB-AC) 例10:已知:如图AB=AC,∠BAC=90 ,AD为∠ABC的平分线,CE⊥:BD=2CE。例11:已知::在△ABC中,AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线,BF垂直AD。求证:AM=ME。 例12已知:,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD=AB,CM⊥AD交AD延长线于M。求证:AM=(AB+AC)例13 已知:在△ABC中,AB=5,AC=3,D是BC中点,AE是∠BAC的平分线,且CE⊥AE于E,连接DE,求DE?例14:已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线,AF⊥BF于F,AE⊥BE于E,连接EF分别交AB、AC于M、N,求证(1)四边形AEBF是矩形;(2)MN=1/2BC(三)有角平分线时,常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形。例15:如图,AB>AC, ∠1=∠2,求证:AB-AC>BD-CD。例16:如图,BC>BA,BD平分∠ABC,且AD=CD,求证:∠A+∠C=180。例17;:如图,AB∥CD,AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE,求证:AD=AB+CD。例18: 已知,如图,∠C=2∠A,AC=2BC。求证:△ABC是直角三角形。 例19:已知:如图,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB,求证:DC⊥AC 例20:已知CE、AD是△ABC的角平分线,∠B=60°,求证:AC=AE+CD例21:已知:如图在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,求证:BC=AB+AD(四)角平分线且垂直一线段,应想到等腰三角形的中线例14: 如图,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC,求证BD=2CE(2)由线段和差想到的辅助线 口诀: 线段和差及倍半,延长缩短可试验。线段和差不等式,移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法: 截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;补短:将一条短