装错信封问题.doc

文档介绍：装错信封问题组合学中有这样一个问题:某人给五个朋友写信,邀请他们来家中聚会。请柬和信封交由助手去处理。粗心的助手却把请柬全装错了信封。请问:助手会有多少种装错的可能呢?这个问题是由18世纪初的法国数学家蒙摩提出来的。瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式:用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封,a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把a错装进B里了,包含着这个错误的一切错装法分两类:(1)b装入A里,这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关,应有f(n-2)种错装法。(2)b装入A、B之外的一个信封,这时的装信工作实际是把(除a之外的) 份信纸b、c……装入(除B以外的)n-1个信封A、C……,显然这时装错的方法有f(n-1)种。总之在a装入B的错误之下,共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入C,装入D……的n-2种错误之下,同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法,因此:f(n)=(n-1){f(n-1)+f(n-2)} 这是递推公式,令n=1、2、3、4、5逐个推算就能解答蒙摩的问题。f(1)=0f(2)=1f(3)=2f(4)=9f(5)=44答案是44种。一般地,当n>2时f(n)=