文档介绍：1 泛函分析知识点小结及应用第七章度量空间§1 度量空间的进一步例子一度量空间的定义设X 是任一非空集合,若对于??yx,X ,都有唯一确定的实数?? yxd, 与之对应,且满足 : ?? yxd,0?,?? yxd, =0yx??; : d(x,y)=d(y,x); :对??zyx,,?,都有?? yxd,??? zxd, +?? zyd, ,则称(?,d )为度量空间, ?中的元素称为点。欧氏空间 nR 对 nR 中任意两点?? nxxxx,,, 21??和?? nyyyy,,, 21??,规定距离为?? yxd, =?? 2 11 2????????? ni iiyx .?? baC, 空间?? baC, 表示闭区间?? ba, 上实值(或复值)?? baC, 中任意两点 yx, ,定义?? yxd, =???? tytx bta??? max . pl ()1 ????p 空间记 pl =????????????????1 1k pkk kxxx . 设????? 1k kxx ,????? 1k kyy? pl ,定义?? yxd, = pi piiyx 11????????????. 二度量空间的进一步例子例1序列空间 S 2 令S 表示实数列(或复数列)的全体,对?????? 1k kxx ,????? 1k kyy , 令?? yxd, =???12 1 k kkk kkyx yx???1 . 例2有界函数空间?? AB 设A 是一个给定的集合,令?? AB 表示 A 上有界实值(或复值)函数的全体.??yx,?? AB ,定义?? yxd, =???? tytx At?? sup . 例3可测函数空间?? XM 设?? XM 为X 上实值(或复值)的可测函数的全体, m 为Lebesgu e 测度,若?? Xm??,对任意两个可测函数?? tf 及?? tg ,由于???????? 11 ????tgtf tgtf ,故不等式左边为 X ?? gfd, =???????? t1 f t g t dX f y g t ??? ?. §2 度量空间中的极限设????1n nx 是?? dX, 中点列,若 Xx??,. ?? 0, lim ???xxd nn(?) 则称????1n nx 是收敛点列,x 是点列????1n nx 的极限. nx 既牧敛于 x 又收敛 y ,则因为?????? 0,,,0???? nnxydxxdyxd???? n ,而有?? yxd, =0. 所以 x =y . 3 注(?)式换一个表达方式:?? xxd nn, lim ??=?? xxd nn, lim ??.即当点列极限存在时, ?? yxd, 是x 和y 的连续函数. 证明?? yxd,??? 0,xxd +?? 00,yxd +?? yyd, 0??? yxd, -?? 00,yxd??? 0,xxd +?? yyd, 0;?? 00,yxd??? xxd, 0+?? yxd, +?? 0,yyd??? 00,yxd -?? yxd, ??? 0,xxd +?? yyd, |?? y