文档介绍：1§§??通过定义来求定积分通常是较困难的,我们通过定义来求定积分通常是较困难的,我们将设法寻找其它计算途径。将设法寻找其它计算途径。??我们已经知道,原函数与定积分是从两个角我们已经知道,原函数与定积分是从两个角度引进来的概念。但是,经过牛顿、莱布尼度引进来的概念。但是,经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力,发现了它们之间的联系,兹等数学家的努力,发现了它们之间的联系,从而定积分的计算将通过不定积分来完成。从而定积分的计算将通过不定积分来完成。2积分上限的函数积分上限的函数??设函数设函数ff((xx))区间区间[[aa,,bb]]上连续上连续,,并且设并且设xx为为[[aa,,bb]]上的上的任意一点任意一点..现在我们考察现在我们考察ff((xx))在部分区间在部分区间[[aa,,xx]]上上的定积分的定积分?xadxxf.)(??如果上限如果上限xx在区间在区间[[aa,,bb]]上任意变动上任意变动,,则对于每一则对于每一个取定的个取定的xx值值,,定积分有一个对应值定积分有一个对应值,,所以它在所以它在[[aa,,bb]]上定义了一个函数,记上定义了一个函数,记.)()(??xadttfx?称其为称其为ff((xx))的的积分上限函数积分上限函数((变上限函数变上限函数))。。3积分上限函数的性质积分上限函数的性质??原函数存在定理:若函数原函数存在定理:若函数ff((xx))区间区间[[aa,,bb]]上连续上连续,,则其积分上限函数则其积分上限函数???xadttfx)()(在在[[aa,,bb]]上可导上可导,,且导数为且导数为)()()()(bxaxfdttfdxdxxa?????????证证dttfxxxxa???????)()()()(xxx????????dttfdttfxaxxa??????)()(abxyoxx??x)(x?????xxxdttf)(xf??)(?],,[xxx????xx????,0),(?fx????)(limlim00?fxxx????????).()(xfx????4原函数存在性定理的注解原函数存在性定理的注解??11:闭区间上的连续函数:闭区间上的连续函数f(xf(x))先求变上限积分,先求变上限积分,再求导数,其结果还原为再求导数,其结果还原为f(xf(x))本身。本身。??22:积分上、下限中有一个为常数,另一个为:积分上、下限中有一个为常数,另一个为变量,积分下限为常数,积分上限为变量;变量,积分下限为常数,积分上限为变量;??变上限是单独的变上限是单独的xx,而不是,而不是xx的其它函数形式的其它函数形式??如何计算:只要将等式右边用积分上限如何计算:只要将等式右边用积分上限xx代替代替被积函数中的积分变量被积函数中的积分变量tt即可。即可。5例题与讲解例题与讲解??例:求下列函数的导数例:求下列函数的导数,tgxtgtdtdxdxa????,lnlnxtdtxxa???.22xdttdxdax?????xadttdxd2sin??xxdttdxd22cos6例题(涉及复合函数求导)例题(涉及复合函数求导)??xadttdxd2sin??xx21sin2?xxxxddtddxddxdtdt21)(sin21sin21sintd)f()(fx)f(f(x)sint)f(,xsintf(x)2a2'a2xa2????????????????????构成的复合函数=和是由则=令解:7有用的结论有用的结论??结论:结论:)())(())(('')(xxfdttfxa?????8例题例题??例:例:??xxdttdxd22cos??axdttdxd22cos?xadttdxd2cos??????xx2cos42cosx9例题与讲解例题与讲解??求极限求极限4030sinlimxdttxx??414sinlim)()sin(limsinlim330x'4'030x4030x????????xxxdttxdttxx解:利用罗必塔法则10例题与讲解例题与讲解??例:求例:???00分析:这是型不定式,应用洛必达法则.??解:解:??1cos2xtdtedxd,cos12????xtdtedxd)(cos2cos?????xex,sin2cosxex???21cos02limxdtextx???xexxx2sinlim2cos0????.21e?