文档介绍：抽象函数的单调性和奇偶性
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点,因为抽象,解题时思维常常受阻,思路难以展开,而高考中会出现这一题型,本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类,大概有以下几种题型:
一、判断单调性和奇偶性
1. 判断单调性
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质,画出函数的示意图,以形助数,问题迅速获解。
,那么在区间上是
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
分析:画出满足题意的示意图,易知选B。

,问在上是增函数还是减函数,并证明你的结论。
分析:如图所示,易知在上是增函数,证明如下:
任取
因为在上是减函数,所以。
又是偶函数,所以
,
从而,故在上是增函数。
2. 判断奇偶性
根据已知条件,通过恰当的赋值代换,寻求与的关系。
,判断:函数
是什么函数。
解:设图象上任意一点为P()
与的图象关于原点对称,
关于原点的对称点在的图象上,

又

即对于函数定义域上的任意x都有,所以是偶函数。
二、证明单调性和奇偶性

(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R)
求证: f(x)是R上的增函数
解:设x1>x2
g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0
g(x1) > g(x2) >0
g(x1)+1 > g(x2)+1 >0
> >0
- >0
f(x1)- f(x2)=- =1--(1-)
=->0
f(x1) >f(x2)
f(x)是R上的增函数
,满足,且当时,,求证:(1)时,(2)在R上为减函数。
证明:对一切有。
且,令,得,
现设,则,,
而

,
设且,
则

,
即为减函数。

,且对任意实数x,y满足,求证:是偶函数。
分析:在中,令,
得
令,得
于是
故是偶函数。
三、求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性,去掉“”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。
()上的偶函数,且在(0,1)上为增函数,满足,试确定的取值范围。
解:是偶函数,且在(0,1)上是增函数,
在上是减函数,
由得。
(1)当时,
,不等式不成立。
(2)当时,

(3)当时,

综上所述,所求的取值范围是。
,若对恒成立,求实数的取值范围。
解:
对恒成立
对恒成立

对恒成立,

四、不等式

这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值,再通过函数的单调性去掉函数符号“”,转化为代数不等式求