2010年全国高中数学联合竞赛年全国高中数学联合竞赛一.pdf

文档介绍：2010 年全国高中数学年全国高中数学联合竞赛联合竞赛联合竞赛一一一一试试试试
试题参考答案试题参考答案((((A 卷卷卷)卷)))

一一一、一、、、填空题填空题填空题((((本题满分本题满分 565656 分分分, 分,,,每小题每小题 888 分分分) 分)))
1. 函数 f x)( = x − 5 − 24 − 3x 的值域是[−,3 ]3 .
解:易知 f x)( 的定义域是[ 8,5 ],且 f x)( 在[ 8,5 ]上是增函数,从而可知 f x)( 的值域为[−,3 ]3 .
3
2. 已知函数 y = (a cos 2 x − sin)3 x 的最小值为− 3 ,则实数 a 的取值范围是−≤ a ≤ 12 .
2
解:令sin x = t ,则原函数化化为 tg )( = (−at 2 + a −)3 t ,即
tg )( = −at 3 + (a −)3 t .
由− at 3 + (a −)3 t ≥−3 ,
− at (t 2 −)1 −(3 t −)1 ≥ 0 ,
(t −)(1 −at (t + )1 −)3 ≥ 0 及t −1 ≤ 0 知
− at (t + )1 − 3 ≤ 0 即(ta 2 + t) −≥ 3. (1)
当 t = −1,0 时(1)总成立;
对 0 < t ≤ 0,1 < t 2 + t ≤ 2 ;
1
对−1 < t < ,0 −≤ t 2 + t < 0 .
4
3
从而可知−≤ a ≤ 12 .
2
3. 双曲线 x 2 − y 2 = 1的右半支与直线 x = 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为
整数的点)的个数是 9800 .
= = L
解:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y (kk ,2,1 )99, 与双曲线右半支于 Ak ,交
= −
直线 x 100 于 Bk ,则线段 A Bkk 内部的整点的个数为99 k ,从而在 x 轴上方区域内部整点的个
数为
99
∑(99−k ) = 99 × 49 = 4851 .
k=1
又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为
2 × 4851 + 98 = 9800 .
1
= = = =
4. 已知{an }是公差不为 0 的等差数列,{bn }是等比数列,其中 a1 ,3 b1 ,1 a2 b2 3, a5 b3 ,
αβ= + βα+ β= 3 +
且存在常数, 使得对每一个正整数 n 都有 an log α bn ,则 3 3 .
解:设{an }的公差为 d {, bn }的公比为 q ,则
3 + d = q, (1)
3(3 + 4d) = q 2 , (2)
(1)代入(2)得
9 +12 d = d 2 + 6d + 9 ,求得 d = ,6 q = 9 .
n−1
从而有 3 + (6 n −)1 = log α 9 + β对一切正整数 n 都成立,
即 6n − 3 = (n − log)1 α 9 + β对一切正整数 n 都成立.
从而 log α 9 = −3,6