文档介绍：2013 年全国高中数学联合竞赛一试
试题参考答案及评分标准

说明:
1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的
评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第 9 小题 4 分为一个档次,第 10、
11 小题 5 分为一个档次,不要增加其他中间档次.

一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.
1. 设集合 A {2, 0, 1, 3},集合 B{ x |  xA ,2  x2  A }.则集合 B 中所有元
素的和为.
答案−5 .
解易知 B { 2, 0,  1,  3}.当 x 2,  3时,2x2  2,  7 ,有 2xA2 ;
而当 x 0, 1时,2x2 2, 1,有 2xA2 .因此,根据 B 的定义可知 B { 2,  3} .
所以,集合 B 中所有元素的和为−5 .

2. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 、B 在抛物线 yx2  4 上,满足 OA OB 4 ,
是抛物线的焦点则.
F . SSOFA OFB
答案 2 .
yy22
解点 F 坐标为(1, 0) .设 Ax( , y ), Bx ( , y ) ,则 xx12, ,故
11 2 2 1244
 1
4OAOB  xx  yy () yy2  yy ,
12 1216 12 12
1
即(yy  8)2 0 ,故 yy 8 .
16 12 12
1112
S S () OF  y( OF  y)=  OF  y y 2.
OFA OFB 2241 2 12
3. 在ABC 中,已知sinA 10sin BC sin , cosA 10cos BC cos , 则 tan A 的值
为.
答案 11.
解由于 sinA cos A  10(sin B sin C cos B cos C )  10cos( BC )  10cos A,所
以 sinAA 11cos ,故 tanA  11.
4. 已知正三棱锥 P ABC 底面边长为 1,高为 2 ,则其内切球半径为.
1
2
答案.
6
解如图,设球心 O 在面 ABC 与面 ABP 内的射影分别为 H 和 K , AB 中点为

M ,内切球半径为 r ,则 P 、K 、M 共线,P 、O 、H 共线,PHM  PKO ,
2
且
OH OK  r,2 PO  PH  OH  r ,
33 1 53
MH AB , PM MH22  PH 2 ,
66 12 6
r OK MH 1
于是有sin KPO ,
2  r PO PM 5
2
解得 r