文档介绍：1 第五章相似矩阵§ 矩阵的相似对角化§ 矩阵的相似对角化一、相似矩阵的基本概念与性质二、矩阵相似对角化的概念与问题分析三、矩阵相似对角化的方法步骤四、矩阵相似对角化的应用 2 第五章相似矩阵§ 矩阵的相似对角化一、相似矩阵的基本概念与性质 1. 相似矩阵的概念定义对于 n阶矩阵 A和B,, 1BPAP??则称 A与B相似, 称对 A所进行的运算为对 A进行相似变换。PAP 1?称可逆矩阵 P为把 A变成 B的相似变换矩阵。记为.~BA 若存在可逆的 n阶方阵 P使得或者称 A相似于 B, 注矩阵相似是矩阵等价的一种特殊情况。 P144 定义 3 第五章相似矩阵§ 矩阵的相似对角化一、相似矩阵的基本概念与性质 1. 相似矩阵的概念 2. 相似矩阵的性质(1) 反身性性质;~AA (2) 对称性若则;~AB,~BA (3) 传递性若则.~CA,~BA ,~CB (4).)()(BrAr?若则,~BA (5).||||BA?若则,~BA P144 定理 P144 4 第五章相似矩阵§ 矩阵的相似对角化定理若n阶矩阵 A与B相似,则 A与B有相同的特征多项式, 证明因A与B相似,即存在可逆的矩阵 P使得, 1B AP P??|| 1IPAP????即A与B有相同的特征多项式。从而 A与B有相同的特征值。故||IB??|)(| 1PIAP????|| 11PIPPAP?????|||||| 1PIAP??????.||IA???一、相似矩阵的基本概念与性质 1. 相似矩阵的概念 2. 相似矩阵的性质 P144 定理 (3) 5 第五章相似矩阵§ 矩阵的相似对角化二、矩阵相似对角化的概念与问题分析定义对于 n阶矩阵 A, 则称 A 可相似对角化; 若存在可逆的 n阶方阵 P,▲ P145 定义 6 第五章相似矩阵§ 矩阵的相似对角化. 1??PBP k 若存在可逆矩阵 P使, 1BPAP?????????????? k kPBPPBPPBPA 111?????则 1??PΛPA kk. 12 1??????????????Pa a aP kn k k?, 1?? PBP A 则特别地, , 2 1?????????????? na a aΛB?若二、矩阵相似对角化的概念与问题分析好处(之一)7 第五章相似矩阵§ 矩阵的相似对角化例证明矩阵不能相似对角化。?????????a a aA1 1 证(反证法), 3 2 11Λa a aPAP???????????假设存在可逆矩阵 P,使得即得, 1???PΛPA 故它们有相同的特征值, 由矩阵 A与?相似, , 321aaaa???,IaΛ??,)( 1IaPIaPA????矛盾! 故矩阵 A不能相似对角化。 8 第五章相似矩阵§ 矩阵的相似对角化 1. 问题分析(1) ??如何构成? ??的主对角线上的元素由 A的全部特征值构成。由于是?的n个特征值, naaa,,, 21?而A与?相似, 因此就是 A的n个特征值. naaa,,, 21???????????????na a aPAP??????? 00 00 00 2 11 n阶方阵 P,使得即二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 9 第五章相似矩阵§ 矩阵的相似对角化 1. 问题分析(2) P 如何构成? P的列向量由 A的线性无关的特征向量构成。设,),,,( 21npppP??即则由有,PΛ AP ?Λ AP P??1,),,,(),,,( 2121ΛppppppA nn???于是有),,,2,1(nipapA iii???又因为 P可逆, 且线性无关, 故,0? ip nppp,,, 21?因此是A的n个线性无关的特征向量. nppp,,, 21?,),,,(),,,( 221121nn npapapapApApA????即二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 10 第五章相似矩阵§ 矩阵的相似对角化 A有n个线性无关的特征向量, 推论如果 n阶矩阵 A有n个不同的特征值,则矩阵 A可以相似对角化。定理 n阶矩阵 A能够相似于对角矩阵的充分必要条件是Λ 1. 问题分析 2. 矩阵可相似对角化的条件即A每个特征值所对应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征值的重数。二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 P145 定理 P146 推论 2 P145 推论 1