相似矩阵与矩阵对角化.ppt

文档介绍：1 一. 相似矩阵及其性质§ 相似矩阵与矩阵对角化二. 矩阵与对角矩阵相似的条件三. 矩阵对角化的步骤四. 小结与思考题 2 定义 设A,B都是 n阶矩阵, 若存在可逆矩阵 P使得 1 P AP B ??则称矩阵 B是矩阵 A的相似矩阵,对A进行运算 1 P AP - 可逆矩阵 P称为把矩阵 A变成矩阵 B的相似变换矩阵. 或称矩阵 A∽ B. B相似,称为对 A进行相似变换, 2 1 1 1 1 1 , , 1 0 0 1 1 2 A B P ?? ?????? ??? ?????? ?? ?????例如 11 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 1 2 P AP ??? ?? ??????? ?????? ??? ????? 1 1 0 1 B ? ?? ?? ?? ? 3 (1)反身性:A∽ A. (2)对称性:若 A∽ B. B ∽ A. (3)传递性:若 A∽ B. AB ∽ C. 则A∽ C. (1) 相似矩阵有相同的行列式; 相似矩阵还具有如下性质: 注1矩阵相似是一种等价关系. 它具有如下性质: (3) 相似矩阵有相同的可逆性, 当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似; (2) 相似矩阵有相同的行列式;4 则证(1) 如果 A∽B,则存在可逆矩阵 P, 有(2) 如果 A∽B,则存在可逆矩阵 P,有所以, R ( A ) = R(B ). (4) A∽B,则 A k ∽B k (k为任意非负整数)?; (5) B P AP ?? 1B P AP ?? 1 P A P ?? 1 P A P A ?? ? 1 B P A A B P ???即 5 1 B P AP ?? 1 1 1 1 1 1 1 ( ) P A P B P A P ? ??????? ?若A与B均可逆,因为 A∽B,故存在可逆矩阵 P, 使得(3) 因为 R (A ) = R(B ),因此矩阵 A与B同时可逆或不可逆. 当k为正整数时,若 (4) 当k = 0 时, A 0 = B 0 = E,所以 A 0∽B , 则有 1, B P AP ??则 1 ( ) k k B P AP ?? 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) P A PP A PP PP A PP AP ? ?????? 1 1 1 1 ( )( ) ( )( ) P AP P AP P AP P AP ? ? ???? 1k P A P ?? 6 即A k∽ B k (5) 设A∽B,则存在可逆矩阵 P,有 1 B P AP ?? 1 E B E P AP ? ??? ??即 1 1 1 = ( ) ( ) P E P P AP P E A P ? ?? ??? ?? 1= P E A P ???= E A ??相似矩阵有相同的特征多项式故而有相同的特征值. 注1虽然相似矩阵有相同的特征值,但它们属于同一特征值的特征向量不一定相同. 7 二. 矩与对角矩阵相似的条件对n阶方阵 A,如果可以找到可逆矩阵 P,使得为对角阵,就称为把方阵 A对角化. 1 P AP ???定理 n 阶矩阵 A与对角阵相似(可对角化)的充要条件是矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量. 证 1 , , P P AP ???假设存在可逆阵使为对角阵?? 1 2 , , , . n P P X X X ?将 按列分快为? 1. 矩阵 A与对角矩阵相似的条件 8 ???? 12 1 2 1 2 , , , , , , n n n A X X X X X X ????