文档介绍：前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差,对于多维随机向量,反映向量之间关系的数字特征中,最重要的,就是现在要讨论的随机变量的协方差和相关系数在讨论这个问题之前,我们先看一个例子。在研究子女与父母的相象程度时,有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系. 这里有两个变量,一个是父亲的身高,一个是成年儿子身高. 为了研究二者关系. 英国统计学家皮尔逊收集了 1078 个父亲及其成年儿子身高的数据, : 父亲及其成年儿子身高是一种什么关系呢? 设 r . v X 和 Y 的期望和方差存在, X ,Y的协方差记为 Cov (X,Y)。其中⑶ Cov (X 1+X 2,Y )= Cov (X 1,Y ) + Cov (X 2,Y ) ⑴ Cov (X, a )= 0 a,b是常数一、协方差 ⑵ Cov (aX ,bY ) = ab Cov (X,Y) Cov (X,Y )=E ( X- EX )(Y -E Y ) =Y, Cov (X, X )= DX Cov (X,Y )=E( XY ) - EXEY 可见,若 X与 Y 独立, Cov (X,Y )= 0 3. 计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质,可得 Cov (X,Y )=E(X- EX )(Y- EY ) =E( XY )- EX EY - EYEX + EXEY =E( XY )- EXEY 即若 X ,Y,两两独立, 上式化为 D(X?Y )= DX + DY ?2 Cov (X,Y) 4. 随机变量和(差)(X?Y )= DX + DY 例1 X Y -102 P{Y=j} - P{X=i} 求 cov (X,Y) 例 2 ( X, Y )是D上的均匀分布, 求 cov (X,Y) 0 1 x D y 1 协方差的大小在一定程度上反映了 X和Y 相互间的关系, 但X与Y自身的取值对度量相互关系的有影响. 例如: Cov (kX , kY )=k 2 Cov (X,Y) 为了克服这一缺点, 对随机变量标准化: 设r. v X ,Y 的期望存在,方差非零。令( , ) ( , ) ( ) ( ) Cov X Y Cov X Y D X D Y ? ??这就引入了相关系数. ( ) ( ) , ( ) ( ) X E X Y E Y X Y D X D Y ? ?? ?? ? 0, 1 , EX EY DX DY X Y ? ? ????? ???,称标准化变量