文档介绍：四、模糊集合的模糊程度——模糊熵四、模糊集合的模糊程度——模糊熵 A的模糊熵 E(A) ,在单位超立方体 I n中从 0到1,其中顶点的熵为 0, 表明不模糊,中点的熵为 1,是最大熵。从顶点到中点,熵逐渐增大。简单地从几何图形上来考虑可以得到熵的比例形式: 11 ( , ) ( ) ( , ) near far a l A A E A b l A A ? ? 1 3 1 1 7 2 3 17 7 ( , ), (0,1), (1, 0), , , ( ) 3 4 3 4 12 3 4 12 17 near far A A A a b E A ? ?????????熵是一个一般性的概念,它度量了一个系统或一段信息的不确定性。模糊熵描述了一个模糊集的模糊性程度。一般的定义[1]: (1)分明集是不模糊的,则分明集的模糊熵为 0; (2)[1/2] 是隶属性最难确认的模糊集, [1/2] 的模糊性应最大(3)模糊集 A与距[1/2] 的1远近程度是相同的,则要求 A与的模糊程度一样(4)模糊集 A的模糊性应具有单调变化的性质,即 A越接近[1/2], A的模糊性越大; A越远离[1/2],A 的模糊性越小。 CA CA四、模糊集合的模糊程度——模糊熵模糊熵定理: ( ) ( ) ( ) cc M A A E A M A A ???模糊熵定理的几何图示。由对称性,完整模糊方形的四个点到各自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西方逻辑”的终止。( ) ( ) 0, ( ) , ( ) 0 c c M A A M A A n E A ? ? ???四、模糊集合的模糊程度——模糊熵??????? ni iiiixAxAxAxAkAE 1 ))] (1 ln( ))(1()( ln)([)(k>0 是常数很多文章是用这个定义来求模糊熵另外的一种定义(类似于信息论中熵的定义) 四、模糊集合的模糊程度——模糊熵五、模糊集合间的包含关系——包含度定理主导隶属度函数关系(dominated membership function relationship) : ( ) ( ) A B A B if and only if m x m x for all x ? ?如果 A=(.3 0 .7) 和B=(.4 .7 .9) ,那么 A就是B的一个模糊子集,但 B不是 A的模糊子集。显然,这种模糊包含度是非模糊的,它是非黑即白的,是二值定义下的子集性(Zadeh ’s1965) 。 B的所有模糊子集构成集合——模糊幂集 F(2 B),它构成了在单位超立方体中倚着原点的规则的超长方形,其边宽等于各隶属度值 m B(x i) 。可以用 Lebesgue 测度或体积 V(B) 来度量 F(2 B)的大小,其中,体积 V(B) 为隶属度值的乘积: 1 ( ) ( ) n B i i V B m x ???五、模糊集合间的包含关系—— : 在图中,点 A可以是长方形内的点,也可以不是。在长方形 F(2 B)外不同的点 A是B的不同程度的子集。而上述二值定义下的子集性忽略了这一点。考虑到集合 A属于 F(2 B)的不同程度,通过抽象隶属度函数来定义包含度: S(.,.) 在[0,1] 之间取值,其代表了多值的子集测度(包含度),是模糊理论中的基本的、标准的结构。(2 ) ( , ) ( ) ( ) BF S A B Degree A B m A ? ??五、模糊集合间的包含关系——包含度定理度量 S(.,.) 的两种方法: (1) 代数方法: 即失配法(fit-violation strategy) 假定 X包含有 100 个元素: X={x 1,…,x 100}。而只有第一个元素违背了主导隶属度函数关系,使得 m A(x 1)>m B(x 1)。直观上, 我们认为 A很大程度上是 B的子集。可以估算,子集性为 S(A,B)= ,并且,如果 X包括 1兆个元素, A几乎完全是 B的子集了。可见失配的幅度 m A(x 1)-m B(x 1)越大,失配的数目相对于模糊集 A的大小越多,那么 A就越不能算是 B的子集,或者说, A就越象是 B的超集。直观上有: ( , ) 1 ( , ) SUPERSETHOOD A B S A B ? ?五、模