文档介绍：机动目录上页下页返回结束高阶线性微分方程解的结构第四节一、线性齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构*三、常数变易法n阶线性微分方程的一般形式为时,称为非齐次方程;时,、线性齐次方程解的结构(一)n阶线性微分方程的概念一个n阶微分方程,如果其中的未知函数及其个阶导数都是一次的,则叫它为n阶线性微分方程,简称n阶线性方程我们重点研究二阶线性微分方程时,称为非齐次方程;时,(二)、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,:代入方程左边,得(叠加原理):一般的n阶线性微分方程是否也有叠加原理说明:,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,:是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,,在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如,若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,:线性相关(无妨设线性无关常数注:中有一个恒为0,则必线性相关机动目录上页下页返回结束例:常数对于n个函数如何确定它们的线性相关性,,则数),方程有特解且常数,故方程的通解为定理2`.是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为注:n阶齐次线性方程的解构成n维向量空间二、线性非齐次方程解的结构是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,:将代入方程①左端,得②①复习目录上页下页返回结束是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②`.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动目录上页下页返回结束