文档介绍：测试技术(1)
王伯雄
四、周期信号的频域描述
在有限区间上,一个周期信号x(t)当满足狄里赫利条件*时可展开成傅里叶级数:

式中,
注意:an是n或nω0的偶函数,a-n=an;而bn则是n或nω0的奇函数,有b-n=-bn 。
()
()
()
信号x(t)的另一种形式的傅里叶级数表达式:
式中,
An称信号频率成分的幅值,φn称初相角。
注意:An是n或nω0的偶函数,A-n=An;而bn则是n或nω0的奇函数,有φ-n=-φn 。
比较式()和式(),可见:
()
n=1,2, ……()
n=1,2,……()
小结与讨论
式中第一项a0/2为周期信号中的常值或直流分量;
从第二项依次向下分别称信号的基波或一次谐波、二次谐波、三次谐波、……、n次谐波;
将信号的角频率ω0作为横坐标,可分别画出信号幅值An和相角φn随频率ω0变化的图形,分别称之为信号的幅频谱和相频谱图。
由于n为整数,各频率分量仅在nω0的频率处取值,因而得到的是关于幅值An和相角φn的离散谱线。
周期信号的频谱是离散的!
例1 (t)的傅里叶级数。
解:
信号x(t)在它的一个周期中的表达式为:

根据式()和()有:
周期方波信号
注意:本例中x(t)为一奇函数,而cosnω0t为偶函数,两者的积x(t)cosnω0t也为奇函数,而一个奇函数在上、下限对称区间上的积分值等于零。
根据式(),:
周期方波信号的频谱图
奇、偶函数的傅里叶系数计算特点
x(t)为奇函数
由于x(-t)=-x(t),因此,
由式()进而有
()
()
x(t)为偶函数
由于x(-t)=x(t),因而有
进而有
偶函数例,图中函数为对称于纵轴的三角波
()
()
傅里叶级数表达成指数函数的形式
由欧拉公式可知:
代入式()有:

令
则
或
()
()
()
()

Cn是离散频率nω0的函数,称为周期函数x(t)的离散频谱。 Cn一般为复数,故可写为
且有
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()
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