文档介绍：测试技术(3)
王伯雄
(四)功率信号的傅里叶变换
只有满足狄里赫利条件的信号才具有傅里叶变换,即。
有限平均功率信号,它们在(-∞, ∞)区域上的能量可能趋近于无穷,但它们的功率是有限的,即满足
利用δ函数和某些高阶奇异函数的傅立叶变换来实现这些函数的傅立叶变换。
()

在Δ时间内激发有一矩形脉冲p Δ(t),的幅值为,面积为1。当Δ→0时,该矩形脉冲p Δ(t)的极限便称为单位脉冲函数或δ函数。
性质:
(1)
(2)
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()
矩形脉冲函数与δ函数
由δ函数的两条性质式()和() ,可得
其中x(t)在t=t0时是连续的。
单位脉冲函数δ(t)的傅里叶变换:
即
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δ(t)及其傅里叶变换
时移单位脉冲函数δ(t-t0)的傅里叶变换对:
常数1的傅里叶变换对:
δ(t-t0)及其傅里叶变换
常数1及其傅立叶变换
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()
单位脉冲函数δ(t)与任一函数x(t)的卷积
证明:
推广可得
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x(t-t1)与δ(t-t0)的卷积

欧拉公式:
余弦函数的频谱:
正弦函数的频谱:
正、余弦函数及其频谱
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周期函数x(t) 的傅里叶级数形式:
式中
x(t)的傅立叶变换为:
一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位于的各谐波频率上的单位脉冲函数组成。
()
例12 单位脉冲序列
求它的傅里叶变换。
解:将x(t)表达为傅里叶级数的形式
于是有
对式()两边作傅里叶变换得
根据式()可得
亦即
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一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为(在频域中的)一个周期脉冲序列。单个脉冲的强度为ω0=2π/T,且各脉冲分别位于各谐波频率nω0=n2π/T上,n=0, ±1, ±2, …。
周期脉冲序列函数及其频谱