文档介绍：将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理两点之间,线段最短;,两边之差小于第三边;; :如图,定点 A、B分布在定直线 l两侧;要求:在直线 l上找一点P,使PA+PB的值最小解:连接 AB交直线l于点P,点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段 AB的长度理由:在 l上任取异于点 P的一点P′,连接AP′、BP′,在△ABP’中,AP′+BP′>AB,即AP′+BP′>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时,PA+:如图,定点 A和定点B在定直线 l的同侧要求:在直线 l上找一点P,使得PA+PB值最小(或△ABP的周长最小)解:作点A关于直线 l的对称点 A′,连接A′B交l于P,点P即为所求;理由:根据轴对称的性质知直线 l为线段AA′的中垂线,由中垂线的性质得: PA=PA′,要使PA+PB最小,则需PA′+PB值最小,从而转化为模型 :如图,定点 A、B分布在定直线 l的同侧(A、B两点到l的距离不相等)要求:在直线 l上找一点 P,使︱PA-PB︱的值最大解:连接BA并延长,交直线l于点P,点P即为所求;理由:此时︱PA-PB︱=AB,在l上任取异于点P的一点P′,连接AP′、BP′,由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱<AB,即︱P′A-P′B︱<︱PA-PB︱:如图,定点A、B分布在定直线l的两侧(A、B两点到l的距离不相等)要求:在直线l上找一点P,使︱PA-PB︱的值最大解:作点B关于直线l的对称点B′,连接B′A并延长交于点P,点P即为所求;理由:根据对称的性质知l为线段BB′的中垂线,由中垂线的性质得:PB=PB′,要使︱PA-PB︱最大,则需︱PA-PB′︱值最大,-1如图,直线 y=x+4与x轴、y轴分别交于点 A和点B,点C、D分别为线段 AB、OB的中点,点P为OA上一动点,当PC+PD最小时,P的坐标为_________,此时PC+PD的最小值为_________.【分析】符合基本模型 2的特征,作点 D关于x轴的对称点 D',连CD'交x轴于点P,此时PC+PD值最小,由条件知CD为△BAO的中位线,OP为△CDD'的中位线,易求OP长,从而求出P点坐标;PC+PD的最小值即CD'长,可用勾股定理(或两点之间的距离公式,实质相同)计算.【解答】连接CD,作点D关于x轴的对称点 D′,连接 CD′交x轴于点P,此时PC+ y=x+4中x=0,则y=4,∴点B坐标(0,4);令y=x+4中y=0,则x+4=0,解得:x=﹣6,∴点 A的坐标为(﹣6,0).∵点 C、D分别为线段 AB、OB的中点,∴CD为△BAO的中位线,∴CD∥x轴,且CD=12AO=3,∵点D′和点D关于x轴对称,∴O为DD′的中点,D′(0,-1),∴OP为△CDD′的中位线,∴ OP=12CD=32,∴点P的坐标为(﹣ ,0).在Rt△CDD′中,CD′= CD2 DD2= 32 42=5,即PC+PD的最小值为 5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点 C、点P坐标;若题型变化,C、D不是AB和OB中点时,则先求直线CD′的解析式,-2如图,在平面直角坐标系中,已知点 A的坐标为(0,1),点B的坐标为( ,﹣2),点P在直线y=﹣x上运动,当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为_________,|PA﹣PB|的最大值是_________.【分析】符合基本模型 4的特征,作 A关于直线 y=﹣x对称点C,连接BC,可得直线BC的方程;求得BC与直线y=﹣x的交点P的坐标;此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值,再用两点之间的距离公式求此最大值 .【解答】作A关于直线 y=﹣x对称点C,易得C的坐标为(﹣1,0);连接BC,可得直线 BC的方程为y=﹣54x﹣54,与直线y=﹣x联立解得交点坐标P为(4,﹣4);此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值,最大值BC=(231)2(2)2=241;【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4,需作一次对称点,-1已知菱形 OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点 A(5,0),OB=4 ,点P是对角线 OB上的一个动点, D(0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为( )A.(0,0) B .(1,) C.(,) D.( ,)变式训练1-2如图,菱形 ABCD中,对角线 AC和BD交于点O,AC=2,BD=2,E为AB的中点,P为对角线AC上一动点,则PE+PB的最小