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(精选)将军饮马问题的11个模型及例题
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(精选)将军饮马问题的11个模型及例题
将军饮马问题
问题概括
路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题
方法原理
两点之间,线段最短;,两边之差小于第三边;
; .
基本模型
1.
已知:如图,定点 A、B散布在定直线 l双侧;
要求:在直线 l上找一点P,使PA+PB的值最小
解:连结 AB交直线l于点P,点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段 AB的长度
原因:在 l上任取异于点 P的一点P′,连结AP′、BP′,
在△ABP’中,AP′+BP′>AB,即AP′+BP′>AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时,PA+PB最小.
2.
已知:如图,定点 A和定点B在定直线 l的同侧
要求:在直线 l上找一点P,使得PA+PB值最小
(或△ABP的周长最小)
解:作点A对于直线 l的对称点 A′,连结A′B交l于P,
点P即为所求;
原因:依据轴对称的性质知直线 l为线段AA′的中垂线,
由中垂线的性质得: PA=PA′,要使PA+PB最小,则
需PA′+PB值最小,进而转变为模型 1.
3.
已知:如图,定点 A、B散布在定直线 l的同侧(A、B两
点到l的距离不相等)
要求:在直线 l上找一点 P,使︱PA-PB︱的值最大
解:连结BA并延伸,交直线l于点P,点P即为所求;原因:此时︱PA-PB︱=AB,在l上任取异于点P的一点P′,
连结AP′、BP′,由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱<AB,即︱P′A-P′B︱<︱PA-PB︱
4.
已知:如图,定点A、B散布在定直线l的双侧(A、B两
点到l的距离不相等)
要求:在直线l上找一点P,使︱PA-PB︱的值最大
解:作点B对于直线l
的对称点B′,连结B′A并延伸交
于点P,点P即为所求;
原因:依据对称的性质知
l为线段BB′的中垂线,由中垂
线的性质得:PB=PB′,要使︱PA-PB︱最大,则需
︱PA-PB′︱值最大,进而转变为模型3.
典型例题1-1
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如图,直线

2
y=3x+4与

x轴、y轴分别交于点

A和点

B,点

C、D分
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别为线段 AB、OB的中点,点P为OA上一动点,当PC+PD最小时,
点P的坐标为_________,此时PC+PD的最小值为_________.
【剖析】切合基本模型 2的特点,作点 D对于x轴的对称点 D',连
接CD'交x轴于点P,此时PC+PD值最小,由条件知CD为△BAO的中位线,OP为△CDD'的中位线,易求OP长,进而求出P点坐标;PC+PD的最小值即CD'长,可用勾股定理
(或两点之间的距离公式,实质同样)计算.
【解答】连结CD,作点D对于x轴的对称点 D′,连结 CD′交x轴
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于点P,此时PC+ y=2x+4中x=0,则y=4,
3
2
2
,解得:x=﹣6,∴点A的坐标
∴点B坐标(0,4);令y=x+4
中y=0,则x+4=0
3
3
为(﹣6,0).∵点C、D分别为线段
AB、OB的中点,∴CD为△BAO的中位线,
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∴CD∥x

轴,且

CD=12

AO=3,
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∵点

D′和点

D对于

x轴对称,∴

O为

DD′的中点,
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D′(0,-1),∴OP为△CDD′的中位线,∴

OP=12CD=32,
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∴点

P的坐标为(﹣

3,0).在

Rt△CDD′中,
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CD′=

CD2

DD

2

=

32

42

=5,即

PC+PD的最小值为

5.
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【小结】还可用中点坐标公式先后求出点 C、点P坐标;若题型变
化,C、D不是AB和OB中点时,则先求直线 CD′的分析
式,再求其与 x轴的交点 P的坐标.
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典型例题1-2
如图,在平面直角坐标系中,已知点 A的坐标为(0,1),点B
的坐标为(3,﹣2),点P在直线y=﹣x上运动,当|PA﹣PB|最
2
大时点P的坐标为_________,|PA﹣PB|的最大值是_________.
【剖析】切合基本模型 4的特点,作 A对于直线 y=﹣x对称点C,
连结BC,可得直线BC的方程;求得BC与直线y=﹣x的交点P的坐标;此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC获得最大值,
再用两点之间的距离公式求此最大值 .
【解答】作A对于直线 y=﹣x对称点C,易得C的坐标为(﹣1,0);连结BC,可得直线 BC
的方程为y=﹣54
x﹣54,与直线y=﹣x联立解得交点坐标
P为(4,﹣4);此时|PA
﹣PB|=|PC﹣PB|=BC获得最大值,最大值
BC=(23
1)2
(2)2
=241;
【小结】“两点一线”大多考察基本模型
2和4,需作一次对称点,连线得交点.
变式训练1-1
已知菱形OABC在平面直角坐标系的地点以下图,极点
A(5,0),
OB=4√5,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短
时,点P的坐标为(
)
A.(0,0)
B.(1,1)C.(6,3)
D.(10,5)
2
5
5
7
7
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变式训练1-2
如图,菱形 ABCD中,对角线 AC和BD交于点O,AC=2,
BD=2√3,E为AB的中点,P为对角线AC上一动点,则PE+PB的最小值为__________.
变式训练1-3
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如图,已知直线

y=1x+1与

y轴交于点

A,与

x轴交于点

D,抛物线

y=1x2+bx+c与直线交于
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2
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A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).
1)求该抛物线的分析式;
2)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM﹣MC|的值最大,求出点M的坐标.
拓展模型
1.
已知:如图,
A为锐角∠MON外必定点;
要求:在射线
OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使
AP+PQ的值最小.
解:过点 A作AQ⊥ON于点Q,AQ与OM订交于点P,此
时,AP+PQ最小;
原因:AP+PQ≧AQ,当且仅当 A、P、Q三点共线时,
AP+PQ获得最小值 AQ,依据垂线段最短,当
AQ⊥ON时,AQ最小.
2.
已知:如图,
A为锐角∠MON内必定点;
要求:在射线
OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使
AP+PQ的值最小.
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解:作点 A对于OM的对称点 A′,过点 A′作AQ⊥ON
于点Q,A′Q交OM于点P,此时AP+PQ最小;
原因:由轴对称的性质知 AP=A′P,要使AP+PQ最小,
只要A′P+PQ最小,进而转变为拓展模型 1
3.
已知:如图,
A为锐角∠MON内必定点;
要求:在射线
OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使
△APQ的周长最小
解:分别作A点对于直线OM的对称点A1,对于ON的对
称点A2,连结A1A2交OM于点P,交ON于点Q,点
P和点Q即为所求,此时△
APQ周长最小,最小值
即为线段A1A2的长度;
原因:由轴对称的性质知
AP=AP,AQ=AQ,△APQ的周
1
2
长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q,当A1、P、Q、A2四点共线时,其值最小.
4. 已知:如图,A、B为锐角∠MON内两个定点;
要求:在 OM上找一点 P,在ON上找一点 Q,使四边形
APQB的周长最小
解:作点A对于直线 OM的对称点 A′,作点B对于直线
ON的对称点 B′,连结A′B′交OM于P,交ON于Q,
则点P、点Q即为所求,此时四边形 APQB周长的
最小值即为线段 AB和A′B′的长度之和;
原因:AB长为定值,由基本模型将 PA转变为PA′,将
QB转变为QB′,当A′、P、Q、B′四点共线时,
PA′+PQ+QB′的值最小,即 PA+PQ+QB的值最小.
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已知:如图,直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定
点,(直线AB不与m垂直)
要求:在m、n之间求作垂线段 PQ,使得AP+PQ+BQ最小.
剖析:PQ为定值,只要 AP+BQ最小,可经过平移,使
P、Q“接头”,转变为基本模型
解:如图,将点 A沿着平行于 PQ的方向,向下平移至
点A′,使得 AA′=PQ,连结A′B交直线n于点
Q,过点Q作PQ⊥n,交直线 m于点P,线段PQ即
为所求,此时 AP+PQ+BQ最小.
原因:易知四边形 QPAA′为平行四边形,则 QA′=PA,
当B、Q、A′三点共线时, QA′+BQ最小,即
AP+BQ最小,PQ长为定值,此时 AP+PQ+BQ最小.
6. 已知:如图,定点 A、B散布于直线 l双侧,长度为 a
(a 为定值)的线段PQ在l上挪动(P在Q左侧)
要求:确立 PQ的地点,使得 AP+PQ+QB最小
剖析:PQ为定值,只要 AP+QB的值最小,可经过平移,
使P、Q“接头”,转变为基本模型
解:将点 A沿着平行于 l的方向,向右移至 A′,使
AA′=PQ=a,连结A′B交直线l于点Q,在l上截取
PQ=a(P在Q左侧),则线段 PQ即为所求,此时
AP+PQ+QB的最小值为 A′B+PQ,即A′B+a
原因:易知四边形 APQA′为平行四边形,则 PA=QA′,
当A′、Q、B三点共线时,QA′+QB最小,即 PA+QB
最小,又 PQ长为定值此时 PA+PQ+QB值最小.
7. 已知:如图,定点 A、B散布于直线 l的同侧,长度 a
(a为定值)的线段PQ在l上挪动(P在Q左侧)
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要求:确立 PQ的地点,使得四边形APQB周长最小
剖析:AB长度确立,只要 AP+PQ+QB最小,经过作 A点
对于l的对称点,转变为上述模型 3
解:作A点对于l的对称点 A′,将点A′沿着平行于 l
的方向,向右移至 A′′,使A′A′′=PQ=a,连结A′′B
交l于Q,在l上截取QP=a(P在Q左侧),线段
PQ即为所求,此时四边形 APQB周长的最小值为
A′′B+AB+PQ,即A′′B+AB+a
典型例题2-1
如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,若点M、N分别是线段 AC、
AB上的两个动点,则 BM+MN的最小值为 .
【剖析】切合拓展模型 2的特点,作点 B对于AC的对称点 E,再过
点E作AB的垂线段,该垂线段的长即 BM+MN的最小值,借
助等面积法和相像可求其长度 .
【解答】作点B对于AC的对称点 E,再过点 E作EN⊥AB于N,则BM+MN=EM+MN,
其最小值即 EN长;∵AB=10,BC=5,
∴AC= AB2BC2=55,
等面积法求得 AC边上的高为 105=25,∴BE=45,
55
易知△ABC∽△ENB,∴ ,代入数据解得 EN=8.
即BM+MN的最小值为8.
【小结】该类题的思路是经过作对称,将线段转变,再依据定理、公义连线或作垂线;可作
定点或动点对于定直线的对称点,有些题作定点的对称点易解,有些题则作动点的对称点易解.
典型例题2-2
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如图,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且 OP= ,点M、N分别
是射线OA、OB上异于点 O的动点,则△PMN周长的最小值是( )
A. B. D .3
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【剖析】切合拓展模型 3的特点;作 P点分别对于 OA、OB的对称点 C、D,连结CD分别交
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OA、OB于

M、N,此时△

PMN周长最小,其值为

CD长;依据对称性连结

OC、OD,
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剖析条件知△

OCD是顶角为

120°的等腰三角形,作底边上高,易求底边

CD.
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【解答】作P点分别对于 OA、OB的对称点 C、D,连结CD分别交OA、OB于M、N,如图,
则MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC=,∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,
PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC,∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°,∴此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于H,
则CH=DH,∵∠OCH=30°,∴OH=OC= ,
CH= OH=,∴CD=2CH=3.
即△PMN周长的最小值是 3;
应选:D.
【小结】依据对称的性质,发现△ OCD是顶角为120°的
等腰三角形,是解题的重点,也是难点 .
典型例题2-3
如图,已知平行四边形 ABCO,以点O为原点,OC所在的直线
为x轴,成立直角坐标系,AB交y轴于点D,AD=2,OC=6,∠A=60°,线段EF所在的直线为OD的垂直均分线,点P为线段EF上的动点,PM⊥x轴于点M点,点E与E′对于x轴对称,连结BP、E′M.
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(1)请直接写出点 A坐标为 ,点B坐标为 ;
(2)当BP+PM+ME′的长度最小时,恳求出点 P的坐标.
【剖析】(1)解直角三角形求出 OD,BD的长即可解决;
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2)切合“搭桥模型”的特点;第一证明四边形OPME′是平行四边形,可得OP=EM,PM是定值,PB+ME′=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME′的长度最小,此时P点为
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直线

OB与

EF的交点,联合

OB的分析式可得

P点坐标;
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【解答】(1)在Rt△ADO中,∵∠A=60°,AD=2,
∴OD=2?tan60°=2 ,∴A(﹣2,2 ),
∵四边形 ABCO是平行四边形,∴ AB=OC=6,
DB=6 2=4 B 4 2
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2)如图,连结OP.∵EF垂直均分线段OD,PM⊥OC,
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∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°,∴四边形OMPE是矩形,∴PM=OE=,∵OE=OE′,∴PM=OE′,PM∥OE′,∴四边形OPME′是平行四边形,
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OP=EM,∵PM是定值,∴PB+ME′=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME′的长度最小,
∴当O、P、B共线时,BP+PM+ME′的长度最小,∵直线 OB的分析式为 y= x,
∴P(2, ).
【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值, 一般经过作对称和平移 (结构平行四边
形)的方法,转变为基本模型 .
典型例题2-4
以下图,在平面直角坐标系中,Rt△AOB的极点坐标分别为A(﹣2,0),O(0,0),B(0,4),把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°,获得△COD.
1)求C、D两点的坐标;
2)求经过A、B、D三点的抛物线的分析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上取两点 E、F(点E在点F
的上方),且EF=1,使四边形 ACEF的周长最小,求出E、
F两点的坐标.
【剖析】切合拓展模型 7的特点,经过作对称、平移、连线,可找出 E、F点,联合直线的
分析式和抛物线的对称轴可解出 E、F坐标.
【解答】(1)由旋转的性质可知: OC=OA=2,OD=OB=4,∴C点的坐
标是(0,2),D点的坐标是( 4,0),
(2)设所求抛物线的分析式为 y=ax2+bx+c,
4a-2b+c=0
由题意,得 16a+4b+c=0
c=4
解得a=-1,b=1,c=4,
2
∴所求抛物线的分析式为 y=-1x2+x+4;
2
(3)只要AF+CE最短,抛物线 y=-1x2+x+4的对称轴为 x=1,
2
将点A向上平移至 A1(﹣2,1),则AF=A1E,作A1对于对称轴 x=1的对称点
A2(4,1),连结A2C,A2C与对称轴交于点 E,E为所求,可求得 A2C的分析式
1 7 7 3
为y=- x+2,当x=1时,y=,∴点E的坐标为(1, ),点F的坐标为(1, ).
4 4 4 4
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【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线” ;此中,作对称和平移的次序可交换 .
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