文档介绍：第六章伯努利方程及其应用在第五章,我们建立了流体力学微分形式的基本方程组,并通过引入了无粘流假设,完全气体假设,建立了理想流体(或理想气体)的动力学基本方程组,这一方程组虽解决了封闭性问题,并使未知数数量及方程的复杂程度得到了很大简化,但由于方程组仍是非线性的,以至于还是无法得到一般形式的解,或精确积分求解的一般方法。在第四章,我们通过对一段流管的能量方程进行分析,在引入五项假设以后已经获得了柏努利方程。实际上,通过对上一章中的欧拉方程进行积分,同样可以得到著名的伯努利方程,不过在积分过程中同样要引入相应的假设和限制条件。柏努利方程的获得对流体力学的发展产生了重要的影响,使得这一方程在以后的一百多年里,直到今天,都是流体力学中应用最广(不论在计算还是在理论分析上)的方程,本章将对其理论和应用进行介绍。第一节伯努利定理在流体静力学中,我们曾引入过压力函数的概念,现在在推导伯努利方程之前,我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。一、压力函数分析在流体静力学中,对于密度仅是压力的函数的正压流体,引入了压力函数:我们考察流场中的任意一条曲线L,规定线上的某点o为原点,因此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长l表示,而dl表示曲线弧的微元长度。显然,在曲线L上,密度和压力是弧长l的函数,并且在不同的曲线L上,其函数也是不同的,这样速度和压力就可表示为:联立以上两式消去l,即可将ρ表示为p的函数,注意,此时并不要求流场是正压流场。代入压力函数定义式:可知L在曲线上,压力函数沿l的变化率为:一般情况下,曲线L上的函数关系是未知的,但是当流场是正压流场时,这时ρ仅是p的函数(根据定义),与所取曲线就无关了。所以只要已知,压力函数就可以积分。(,)pL???()p???常见的正压场有:1、不可压缩流场:2、完全气体等温流场:3、完全气体的绝热等熵流场:在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体,一般就可以视为不可压缩流场。对于气体,当流速较低时,今后会讨论到,也可以视为不可压缩流场;而当流速较高时,由于其导热系数小,又可以视为绝热流场。二、沿流线和涡线成立的伯努利积分由兰姆方程(引入理想流体假设1):假设流动为定常(2),质量力有势(3),兰姆方程为:0t???fU???ur左边是标量场的梯度,标量梯度在某一方向的投影,等于标量在该方向的方向导数。等式反映了四个向量的平衡关系,他们投影到某一方向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L,将上式在曲线的微元弧线(切线)上投影,有:21()()2lVVpUlll????????????urur注意压力函数的微分关系,代入上式有:这里曲线函数尚是任意取的,如果将该曲线取为流线或涡线,则曲线上任意点的切线方向与向量垂直,因而有:(沿流线或涡线假设4)V??urur于是:积分:这就是欧拉方程的最一般形式的伯努利积分,他表明:在理想流体、质量力有势,流动定常的条件下,沿流线或涡线流体的动能、压力能和势能之和是一个常数。注意上式中的积分常数C(L)与所取的流线或涡线是有关的。不同的流线或涡线会有不同的值,C(L)会构成等值面。这个等值面是由相交的流线或涡线决定的。如果流场是正压流场,则压力函数与所取的曲线无关,上式为:三、不可压缩流体在重力场中的伯努利积分1、当质量力为重力时,质量力势为:2、当流体不可压时,压力函数为:3、代入伯努利积分,有:或者:Ugzconst??pconst????2()2VpgzCL????这是我们最常见的伯努利方程。总结一下它的应用条件:不可压缩的理想流体,定常流动,质量力仅为重力,沿流线或涡线成立。四、伯努利积分与所取曲线无关的情况在正压流场中,如果恒有。则以上伯努利积分与所取曲线无关。或者说在全流场中的积分为同一常数C,等式两边的1点和2点可以不必在同一流线或涡线上。0V???urur的情况有三种:1、流体静止,其结果为静力学基本方程,对动力学无意义。2、流动无旋。3、通常不可能,只有在一些理想的特殊流动中存在。0V???urur0V?ur0??urV?ururP由此我们知道,无旋流动的伯努利积分,其常数全场相等,也就是说,此时我们应用伯努利方程不必在意1点和2点是不是在同一条流线或涡线上。面对流场是否无旋的判断,上一章我们在讲到弗里德曼方程时有结论:理想流体,在质量力有势,流场正压时,流场如一开始无旋,则永远无旋,这有助于我们做出判断。五、总结1、伯努利方程的形式221112221122pVgzpVgz?????????I、物理意义:单位体积流体的能量守恒。压力能、动能、势能。II、物理意义:单位质量流体的能量守恒。(焓表示)2211221222VpVpgzgz???????III、物理意义:总水头高度的守恒。(水头表示)其中第I、II式多用于气体流动,III式多用于液体