文档介绍：五、方阵的特征值与特征向量(一)特征的定义与求法(1)A是n阶矩阵,若有,使得:A=,是A的特征值,为A的与对应的特征向量.(2)特征值满足特征方程:f()=0。若是A的特征值,其对应的特征向量满足:(E-A)=0(3)不同的特征值,对应的特征向量线性无关;k重特征值,至多对应k个特征向量;,.(二)相似矩阵A是n阶矩阵,p是n阶满秩矩阵,使得,称A与B相似,.(2),必有r(A)=r(B),=,,f()===,,必有相似对角矩阵,即=(i=1,…..,n),P=(),使得=。因此,1)当A有n个不同的特征值时,必有相似对角矩阵;2)当A是实对称矩阵时,必有相似对角矩阵.(三)A是n阶实对称矩阵,必有(1)n个实特征值(k重特征值,计为k个);(2)k重特征值,必对应k个线性无关特征向量,且其对应的全部特征向量是k维向量空间,由schmidt方法,可找出k个单位正交特征向量;(3)不同特征值对应特征向量正交;(4)存在n个单位、正交特征向量:,….,p=(,….)是正交矩阵,有==.(四)若的特征值为,与之对应的特征向量是,A=,必有:=(0);=(0);=;()()=();=;=.(五)典型题目1、若A~B,则A,B有相同特征多项式、特征值,、若A~B,则有(1)~,;(2)若A可逆,~,;(3)设f()=+,f(A)~f(B).3、设,(1).A=;(2).A=;,满足=0,且=9,=有3个线性无关特征向量,求. =有三个线性无关特征向量,=2是二重特征值,