文档介绍：北京理工大学2006年
一、(20分)若粒子势能由变为,其中为常数,讨论能量本征值和相应的本征函数的变化情况。
解:
势能不显含时间,粒子波函数满足定态薛定谔方程
(1)
将(2)中
(1)
说明后,体系能量,而波函数不变。
即体系处在相同态时,能量变为
(2)
1
二、(20分)描述粒子状态的归一化波函数为
试求(1)常数A 的取值;
(2)在区域内发现粒子的概率;
解:
(1)由波函数的连续性,
归一化
(2)
2
三、(30分)粒子在一维无限深势阱
中运动。
(1)求能量本征值及本征函数。
(2)若粒子初始波函数为,求t 时
时刻粒子归一化波函数、能量可能值及相应概率。
(3)若初始波函数,求t 时刻粒子归
归一化波函数。
解:
(1)
3
(2)若粒子初始波函数为,求t 时
时刻粒子归一化波函数、能量可能值及相应概率。
(2)
所以
归一化
t时刻
能量为守恒量,故其可能取值及取值概率不随时间改变。所以能量的可能取值为,概率均为二分之一。
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(3)若初始波函数,求t 时刻粒子归
归一化波函数。
(3)
所以
归一化
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四、(20分)在角动量算符的本征态下,试求
(1)角动量算符的平均值。
(2)角动量算符沿矢量投影的平均值
(3)若系统哈密顿量为,试求能量本征值。
解:
(1)
的本征态
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(2)角动量算符沿矢量投影的平均值
(2)
同理
所以
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(3)若系统哈密顿量为,试求能量本征值。
(3)
,
,
本征值
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(3)若系统哈密顿量为,试求能量本征值。
是的共同本征函数,故也是
的本征函数。
所以,能量本征值为
(3)
*
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五、(20分)氢原子波函数为
试求(1)自旋角动量z分量的可能值和相应概率。(2)轨道角动量z分量的可能值和相应概率。(3) 的可能值和相应概率。(4) 和的平均值。
解:
(1)将按的本征函数系展开
得的可能值,相应概率。
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