文档介绍：北京理工大学08年
一、(20分)一个质量为m 的粒子在一维无限深势阱
中运动,t=0 时刻的波函数为。
问(1)在后来某一时刻粒子的波函数是什么?(2)体系在
时的平均能量是多少?(3) 时刻在势阱的左半部
发现粒子的概率是多少?
解:
(1)
已经归一化。
1
(2)
一、(20分)一个质量为m 的粒子在一维无限深势阱
中运动,t=0 时刻的波函数为。
问(1)在后来某一时刻粒子的波函数是什么?(2)体系在
时的平均能量是多少?(3) 时刻在势阱的左半部
发现粒子的概率是多少?
(3)
2
3
二、(15分)对于的共同本征态,计算和的平均值。
解:
利用升降算符
在教案第四章习题课题目3中,得到
于是有
4
三、(20分)自旋为0的两个全同粒子在谐振子势中运动,
设粒子之间有相互作用,试用微扰论求体系基
态能级的一级修正(已知数学积分公式, a>0)。
解:
引入质心坐标和相对坐标,则质心
质量,折合质量。
5
同理
而
利用分离变量法可求得体系的波函数和能量本征值:
所以
基态波函数
,
,
,
6
利用题给积分公式
7
四、(20分)一个沿x 轴作一维运动的自由电子,波函数满足长度L(L足够大)的周期性边界条件。(1)试写出体系的定态波函数和相应的能量本征值。(2)若再加上微扰,
(N是一个大的整数, 为一个小常数),请计算波矢为
的电子的一级近似能量和微扰后的零级近似波函数。
解:
(1)
设,利用箱归一化方法,得到满足边界条件
的自由电子波函数
此函数为自由粒子哈密顿的本征函数,本征值为
即
能量为二重简并。
8
(2)若再加上微扰, (N是一个大的整数,
为一个小常数),请计算波矢为的电子的一级近似能量和微扰后的零级近似波函数。
(2)
加入微扰,
( )
先确定波矢为的波函数。
此时, ,对应的波函数为
能量一级修正满足的方程(久期方程)
9
所以
同理
10