微积分中值定理详细.ppt

文档介绍：中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)(x)满足条件:由上述的讨论,我们可以得到如下定理——罗尔(Rolle)定理。设y=f(x)是一条连续光滑的曲线,并且在点A、B处的纵坐标相等,即f(a)=f(b),如图,那么我们容易看出,在弧AB上至小有一点C(ξ,f(ξ)),曲线在C点有水平切线。(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b).则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得证因f(x)在闭区间[a,b]上连续所以在[a,b]上一定取到最大值M和最小值m。(1)若M=m则f(x)在[a,b]上是常数;f(x)=M,x∈[a,b](x)在ξ处取最大值,所以不论△x为正或为负,总有当△x>0时,(2)若M≠m,则M,m中至小有一个不等于f(a),不妨设f(a)≠M。因此,函数f(x)在内(a,b)某一点ξ处取到最大值M。我们来证。同理,当△x<0时,从而,因此,任取ξ∈(a,b)(x)在区间[a,b]上的图形是一条连续光滑的曲线弧,显然是连接点A(a,f(a))和点B(b,f(b))的弦的斜率,如图所示,容易看出,在(a,b)内至少存在一点ξ使弧上的点C(ξ,f(ξ))的切线与弦平行。ABAB图yoxACBaξb由上述的讨论,我们可以得到如下定理——拉格朗日(Lagrange)中值定理。.定理2设函数f(x)满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得分析:若f(a)=f(b)即为罗尔定理,不妨设f(a)≠f(b),证明的思路是借助一个辅助函数把拉格朗日定理转化为已知的罗尔定理。容易看出,,将其记为,显然函数满足罗尔定理的条件。显然在上[a,b]连续,在(a,b)可导,且于是由罗尔定理,至少存在一点ξ∈(a,b),,。证在(a,b)内任意取两点x1,x2,不妨设x1<x2,显然f(x)在[a,b]上连续,在(x1,x2)内可导,由拉格朗日中定理可知,至少存在一点ξ∈(x1,x2),使得推论2若函数f(x),g(x)在(a,b)内可导,且推论1若函数f(x)在(a,b)内任意点的导数,则f(x)在(a,b)内是一个常数。由条件知,从而f(x2)-f(x1)=0。即f(x2)=f(x1)。由x1,x2是(a,b)内的任意两点,于是我们就证明了f(x)在(a,b)内恒为一个常数。则在(a,b)内,f(x)与g(x)最多相差一个常数,。事实上,因为,由推论1可知应用拉格朗日定理,我们不可以证明一些等式和不等式。.