文档介绍：行列式的计算方法汇总方法1 化三角形法[分析]显然若直接化为三角形行列式,计算很繁,所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始;每一列与它一列中有n-1个数是差1的,根据行列式的性质,先从第n-1列开始乘以-1加到第n列,第n-2列乘以-1加到第n-1列,一直到第一列乘以-1加到第2列。然后把第1行乘以-1加到各行去,再将其化为三角形行列式,计算就简单多了。解:[问题推广]例1中,显然是1,2,…,n-1,n这n个数在循环,那么如果是a0,a1,…,an-2,an-1这n个无规律的数在循环,行列式该怎么计算呢?把这种行列式称为“循环行列式”。[2]从而推广到一般,求下列行列式:解:令首先注意,若u为n次单位根(即un=1),则有:为范德蒙行列式又例1中,循环的方向与该推广在方向上相反所以例1与相对应与例1的答案一致。方法2 按行(列)展开法(降阶法)设为阶行列式,根据行列式的按行(列)展开定理有或其中为中的元素的代数余子式按行(列)展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行(列)展开法,可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算,这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下,按行(列)展开并不能减少计算量,仅当行列式中某一行(列)含有较多零元素时,它才能发挥真正的作用。因此,应用按行(列)展开法时,应利用行列式的性质将某一行(列)化为有较多的零元素,再按该行(列)展开。例2,计算20阶行列式[9][分析]这个行列式中没有一个零元素,若直接应用按行(列)展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算,需进行20!*20-1次加减法和乘法运算,这人根本是无法完成的,更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素,则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列(行)的对应元素仅差1,因此,可按下述方法计算:解:以上就是计算行列式最基本的两种方法,接下来介绍的一些方法,不管是哪种,都要与行列式的性质和基本方法结合起来。下面是一常用的方法:方法3 递推法应用行列式的性质,把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式(比如,n-1阶或n-1阶与n-2阶等)的线性关系式,这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式(比如二阶或一阶行列式)的值,便可递推求得所给n阶行列式的值,这种计算行列式的方法称为递推法。[注意]用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话,即很难找出递推关系式,从而不能使用此方法。(虽然这是一道证明题,但我们可以直接求出其值,从而证之。)[分析]此行列式的特点是:除主对角线及其上下两条对角线的元素外,其余的元素都为零,这种行列式称“三对角”行列式[1]。从行列式的左上方往右下方看,即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。证明:Dn按第1列展开,再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有:这是由Dn-1和Dn-2表示Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推,计算较繁,注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式,因此,可考虑将其变形为:或现可反复用低阶代替高阶,有:同样有:因此当时由(1)(2)式可解得:证毕。[点评]虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构,然后得到一递推关系式,但我们不要盲目乱代,一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算,如果不行的话,就要适当地换递推关系式,如本题。方法4加边法(升阶法)有时为了计算行列式,特意把原行列式加上一行一列再进行计算,这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然,加边后必须是保值的,而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行(列)有一个相同的字母外,也可用于其列(行)的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。加边法的一般做法是:特殊情况取或当然加边法不是随便加一行一列就可以了。那么加法在何时才能应用呢?关键是观察每行或每列是否有相同的因子。如下题:例4、计算n阶行列式:[8][分析]我们先把主对角线的数都减1,这样我们就可明显地看出第一行为x1与x1,x2,…,xn相乘,第二行为x2与x1,x2,…,xn相乘,……,第n行为xn与x1,x2,…,xn相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子x1,x2,…,xn,从而就可考虑此法。解:[注意]大家一定要记住,加边法最重要的特点就是要找出每行或每列相同的因子,那么升阶之后,就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零,然后再化为三角形行列式,这样就达到了简化计算的效果。方法5 拆行(列)法由行列式拆项性质知,将已知行列式拆成若干个行列式之积,计算其值,再得原行列式值,此法称为拆行(列)法。由行列式的性质知道,若行列式的某行(列