文档介绍：皮尔逊积矩相关系数( Pearson product-moment correlation coefficient ) 1定义在统计学中, 皮尔逊积矩相关系数( Pearson product-moment correlation coefficient ), 有时也简称为 , 通常用 r 或是ρ表示, 是用来度量两个变量 X和Y 之间的相互关系( 线性相关)的, 取值范围在[-1,+1] 之间。皮尔逊积矩相关系数在学术研究中被广泛应用来度量两个变量线性相关性的强弱, 它是由 Karl Pearson 在 19 世纪 80 年代从 Francis Galton 介绍的想法基础发展起来的, 但是发展后原想法相似但略有不同的,这种相关系数常被称为“ Pearson 的r”。两个变量之间的皮尔逊积矩相关系数定义为这两个变量的协方差与二者标准差积的商,即( )( ) cov( , ) X Y XY X Y X Y E X Y X Y ?? ??? ? ??? ??上式定义了总体相关系数,一般用希腊字母ρ( rho )表示。若用样本计算的协方差和标准差代替总体的协方差和标准差,则为样本相关系数,一般用 r 表示: 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n i i i n n i i i i X X Y Y r X X Y Y ?? ?? ??? ??? ?另外一个与上式等效的定义相关系数的公式是通过标准化以后变量均值的积定义的。假设样本可以记为( , ) i i X Y ,则样本 Pearson 相关系数为 111 n i i i X Y X X Y Y r s s n ?? ???? ??? ????? ????其中 iX X X s ?,X 和 Xs 分别为标准化变量,样本均值和样本标准差。 2 皮尔逊积矩相关系数的数学特性不论是样本的还是总体的 Pearson 相关系数绝对值均小于等于 1 ,相关系数等于 1或-1 时,所有数据的点都精确地落在一条直线上(为样本相关系数的情况) ,或是两变量的分布完全由一条直线支撑(为总体相关系数的情况)。 Pearson 相关系数具有对称性,即: corr corr( , ) corr( , ) X Y Y X ?。 Pearson 相关系数的一个关键的特性就是它并不随着变量的位置或是大小的变化而变化。也就是说, 我们可以把 X 变为 a+bX ,把Y 变为 c+dY , 其中 a,b,c和d 都是常数, 而并不会改变相互之间的相关系数(这点对总体和样本 Pearson 相关系数都成立)。 Pearson 相关系数可以用原