文档介绍：希尔伯特几何公理石门中学高二(2)邓乐涛一、符号及一些说明有三组不同的对象:点,直线,平面点用A,B,C,D……来表示;直线用a,b,c,d……来表示;平面用α,β,γ,δ……来表示。点称为直线几何的元素,点和直线称为平面几何的元素,点、直线和平面称为立体几何的元素那么点,几何元素之间又有一定的相互关系点A在直线a上:点A在平面α上:直线a在平面α上:(直线的每一点都在平面上)点B在点A与点C之间:(我自己规定的符号)线段AB与CD相等:(原书是用号的,不过对于我们不常见,所以我用了=号)与相等:等等……(线段,角之类的能在点线面下给出定义,具体在叙述公理的时候再说)在希尔伯特几何里面,其实点直线和平面是三个未定义的数学对象,在上面给的最基本的关系也是没有定义的,也就是说用什么来代表这些东西都是可以的,正如希尔伯特所说“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’”。最简单的例子就是解析几何:我们定义点是实数对(x,y),定义线是,其实在这个定义下,“几何”已经失去了“直观”的形式了,因为在这个定义下的几何图形就变成了毫无几何直观的数字了,只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。我这里的关系符号,,并不来自于集合论,不要混淆,要再强调的是他们本身没有含义,我只是借用过来化简论述罢了。总之,希尔伯特几何,就是将直观地几何语言(欧氏几何)抽象成了逻辑语言,我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。(其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几何)公理I关联公理本组公理有八条,是前面所提的点,直线,平面这三组对象之间建立的一种联系:(为了方便论述,以后说二、三……点的,直线或平面是,都是指不同的点,直线或平面)I1:对于两点A和B,恒有一直线a,使得(存在性);I2:对于两点A和B,至多有一直线a,使得(唯一性);(对于1,2,我们可以说两点确定一直线)I3:一直线上至少有两点,至少有三点不在同一直线上;I4:对于不在同一直线的三点A,B和C,恒有一平面α,使得;(存在性)对于任一平面,恒有一点A,使得;I5:对于不在同一直线的三点A,B和C,至多有一平面α,使得;(唯一性)(对于4,5,我们可以说三点确定一平面)I6:若且,则;I7:若两平面有一个公共点A,则他们至少还有一个公共点B;I8:至少有四点不在同一个平面上。以上。其实我想用形式语言写出来的,但是实在书上的太难翻译,而且符号难打,所以放弃了。公理II顺序公理本组公理有四条,规定了“在……之间”这个关系。根据这个概念,直线上的,平面上的,空间上的点才有顺序可言。II1:对于点A,B,C,如果,则点A,B,C是直线上不同的三点;这时,也成立;(如图)II2:对于点恒有一点,使得;(如上图)II3:一直线的任意三点中,至多有一点在其他两点间;根据上面,我们就可以定义线段了:对于直线a和直线上的两点A,B;我们把这一点对{A,B}称为线段,用AB或BA表示。在A和B之间的点叫做线段AB的点;A点和B点叫做线段AB的端点。II4:设A,B,C是不在同一个平面的三点:对于在平面ABC且不经过点A,B,C的直线a,若a交于线段AB的一点,则它必定交于线段AC或CB的一点(如图)以上。接下来定义射线先定义同侧:设A,A’,O,B是直线a上的四点,而O在A,B之间,但不在A,A’之间,则A和A’称为在a上点O的同侧,而A,B两点称为异侧。那么射线就定义为直线a上点O同侧的点的全体。比如与上图关于点O与B同侧的射线我们记为OB(虽然跟线段的记号一样,但注意不要混淆)公理III合同公理本组公理包含五条公理,主要说明几何对象“相等”的关系。III1:对于线段AB和一点A’,恒有一点B’,使得线段AB与线段A’B’相等,记为因为线段与端点的次序无关,所以一下四个等式的意义相同:III2:若且,则;(根据1,2,我们才能得到线段AB与自己相等,才能得到与等价,这并不是不证自明的事实,有了这个我们才能说两线段“互相相等”。总而言之根据1,2我们才能得到线段相等的“反身性”,“对称性”,和“传递性”,这才说明这是一个等价关系。)III3:线段AB,BC在同一直线a上,且无公共点;线段A’B’,B’C’在同一直线a’上,且也无公共点。如果,则这条公理还要求线段能够相加,可以定义AB+BC=AC(其中A,B,C共线)相当于线段一样,我们也这样来规定角相等。我们先定义角的概念:对于不同一直线的三点O,A,B,射线OA,和射线OB的全体我们称为角,记为。O称为的顶点,射线OA,和射线OB称为的边。同样与A,B的次序无关。根据定义,平角,零角和凸角(大于平角的角)都不在考虑的围。III4:对于,和一条射线O’A’,在射线O’A’所在的一个平面,有且只有一条射线O’B,使得与相等,记为。而且有。如同线段一样,下面