文档介绍：希尔伯特几何公理
石门中学高二（ 2）邓乐涛
一、符号及一些说明
有三组不同的对象：点，直线，平面点用 A,B,C,D⋯⋯来表示；
直线用 a,b,c,d ⋯⋯来表示；平面用α, β, γ, δ⋯⋯来表示。
点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为立体几何的元素
那么点，几何元素之间又有一定的相互关系
① 点 A在直线 a 上：
② 点 A在平面α上：
③ 直线 a 在平面α上：（直线的每一点都在平面上）
④ 点 B在点 A与点 C之间：（我自己规定的符号）
⑤ 线段 AB与 CD相等：（原书是用号的，不过对于我们不常见，所以我用了=号）
⑥ 与相等：等等⋯⋯
（线段，角之类的能在点线面下给出定义，具体在叙述公理的时候再说）
在希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的
最基本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希
尔伯特所说“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’ ”。最简单的例子就是解析几何：我们定义点是实数对 (x,y) ，定义线是
，其实在这个定义下， “几何”已经失去了“直观”的形式了，因为在这个定义下的几何图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便研究又
将它画在了坐标系中而已。
我这里的关系符号，，并不来自于集合论，不要混淆，要再强调的是他们本身没有含义，我只是借用过来化简论述罢了。
总之，希尔伯特几何，就是将直观地几何语言（欧氏几何）抽象成了逻辑语言，我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。（其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几何）
公理 I 关联公理
本组公理有八条，是前面所提的点，直线，平面这三组对象之间建立的一种联系：
（为了方便论述，以后说二、三⋯⋯点的，直线或平面是，都是指不同的点，直线或平面）
I 1：对于两点 A和 B，恒有一直线 a，使得（存在性）；
I 2：对于两点 A和 B，至多有一直线 a，使得（唯一性）；
（对于 1,2 ，我们可以说两点确定一直线）
I 3：一直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上；
I 4：对于不在同一直线的三点 A,B 和 C，恒有一平面α，使得；（存在性）对于任一平面，恒有一点 A，使得；
I 5：对于不在同一直线的三点 A,B 和 C，至多有一平面α，使得；（唯一
性）
（对于 4,5 ，我们可以说三点确定一平面）
I 6：若且，则；
7：若两平面有一个公共点 A，则他们至少还有一个公共点 B； I 8：至少有四点不在同一个平面上。
以上。
其实我想用形式语言写出来的，但是实在书上的太难翻译，而且符号难打，所以放弃了。
公理 II 顺序公理
本组公理有四条，规定了“在⋯⋯之间”这个关系。根据这个概念，直线上的，平面上的，空间上的点才有顺序可言。
1：对于点 A,B,C，如果，则点 A,B,C 是直线上不同的三点；这时，也成立；（如
图）
II 2: 对于点恒有一点，使得；（如上图）
II 3: 一直线的任意三点中，至多有一点在其他两点间；
根据上面，我们就可以定义线段了：
对于直线 a 和直线上的两点 A,B；我们把这一点对 {A,B} 称为线段，用 AB或 BA表
示。在 A 和 B 之间的点叫做线段 AB的点； A 点和 B 点叫做线段 AB的端点。
4: 设 A,B,C 是不在同一个平面的三点：对于在平面 ABC且不经过点 A,B,C 的直线
a，若 a 交于线段 AB的一点，则它必定交于线段 AC或 CB的一点（如图）
以上。
接下来定义射线
先定义同侧：设 A,A’,O,B 是直线 a 上的四点，而 O在 A,B 之间，但不在 A,A’之间，则 A 和 A’称为在 a 上点 O的同侧，而 A,B 两点称为异侧。
那么射线就定义为直线 a 上点 O同侧的点的全体。比如与上图关于点 O与 B 同侧的射线我们记为 OB（虽然跟线段的记号一样，但注意不要混淆）
公理 III 合同公理
本组公理包含五条公理，主要说明几何对象“相等”的关系。
1：对于线段 AB和一点 A’，恒有一点 B’，使得线段 AB与线段 A’B’相等，
记为
因为线段与端点的次序无关，所以一下四个等式的意义相同：