文档介绍：差商、差分概念及其牛顿插值多项式、拉格朗日插值多项式
安成华
青海师范大学数学系09C班
摘要:学习了插值多项式的存在性与唯一性,通过插值多项式求法并建立建立了一般节点情形下推广到差商,推导出差商的性质与差商的概念,在此基础上,利用差商构造函数插值。通过节点推出差分的性质与概念,讨论了一般多重差商问题与多重差分问题,并计算出差商与差分的关系,而同时利用差商与差分推导出牛顿插值多项式公式与拉格朗日插值多项式公式、在实际当中应用牛顿插值多项式与拉格朗日插值多项式来解决一些问题,在计算方法中带来方便、快速简捷。
关键词:差商、差分、牛顿插值多项式、拉格朗日插值多项式
Abstract: Study the existence and uniqueness of the interpolation polynomial,By polynomial interpolation method and the establishment of the general node case extended to the difference quotient, the concept of the nature of the difference quotient derivation travel,On this basis, the difference quotient constructor interpolation. Node launched the nature and concept of the differential,General poor multiple problems with multiple differential, and calculate the relationship between the travel and the difference,While at the same time take advantage of the difference quotient differential derivation of the Newton interpolation polynomial formula with Lagrange interpolation polynomial formula,In the actual application of Newton polynomial interpolation Lagrange interpolation polynomial to solve some of the convenient, fast and easy
Keywords: Difference quotient. Difference. Newton interpolation polynomial. Lagrange Interpolation polynomial
差商及其性质
差商的定义:
称=为函数关于点的零点差商,称=为函数关于的一阶差商。
由定义可以看出,一阶差商差商实际上函数值的增量与自变量之比;函数在区间上的平均变化率,而具有对称性,即
称为函数关于点的二阶差商,二阶差商与一阶差商相同,与点的排列顺序无关,而这种性质称为查收的对称性,即
用阶差商的差商来定义阶差商

同样阶差商具有对称性。
差商的递推定义
设有两两互异的节点,对函数,称为在节点处的一阶差商,称为在节点处的二阶差商。
一般地,在个两两互异的节点称
为在节点处的阶差商,差商也称为均差。
差商的性质
若是的任一置换,则有
差商可表示为节点函数值的线性组合,即,其
若,则必存在一点使
若在的领域内具有直到阶的连续导数,节点两两互异,则有
证明:(数学归纳法)
当时
显然成立
假设等式成立,即则

(其中指对第一位置求导)
得到有
故等式成立,得证
若在的领域内具有直到阶的连续导数,节点两两互异,则有
其中.
差分及其性质
2 差分的定义
设已知函数在等距点上的值是称为步长的常数。
称函数在每个区间上的增量为函数在点的一阶差分,记为。
一阶差分称为二阶差分,记为,即=。
用阶差分来定义阶差分。
差分与函数值的关系
.
从差分与差商的关系
差分与导数的关系
由于和,从而有
由上式可看出,如果是