文档介绍：线段的垂直平分线
思考1:我们知道,线段是轴对称图形,那么
它的对称轴是什么?
A
B
M
N
思考2:如图,直线MN是线段
AB的垂直平分线,在MN上任
取一点P,分别联结PA,PB.
那么线段PA与PB的长度相等
吗?
P
C
量一量
猜想:线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点
的距离相等.
已知:如图,直线MN是线段AB的垂直平分线,
垂足为C,点P在直线MN上.
A
M
P
N
B
C
求证:PA=PB.
如何证明这个命题呢?
1
2
已知:如图,直线MN是线段AB的垂直平分线,
垂足为C,点P在直线MN上.
A
M
P
N
B
C
求证:PA=PB.
证明:
1
2
∵MN是线段AB的垂直平分线.(已知)
∴MN⊥AB,AC=BC.(线段的垂直
平分线的意义)
情况1:设点P不在线段AB上.
∵MN⊥AB(已知) ∴∠1=∠2=90o.(垂直的定义)
在△PCA与△PCB中
AC=BC(已知)
∠1=∠2(已证)
PC=PC(公共边)
∴△PCA≌△PCB(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
A
M
(P)
N
B
C
1
2
情况2:如果点P在线段AB上.
∴点P与点C重合.
即PA=PB.
定理:线段的垂直平分线上的点到线段的
两个端点的距离相等.
思考1:如何用几何符号表示这个定理?
∴________(
)
线段的垂直平分线上的点到线段的两个
端点的距离相等.
A
M
P
N
B
C
看图填空:
∵MN⊥AB,AC=BC(已知)
PA=PB
定理:线段的垂直平分线上的点到线段的
两个端点的距离相等.
思考2:这个定理逆命题是什么?逆命题正确吗?
写出这个定理的逆命题,再进行证明.
逆命题是:到线段的两个端点的距离相等的点
在这条线段的垂直平分线上.
A
Q
B
C
已知:如图,QA=QB.
求证:点Q在线段AB的垂直平分线上.
证明:
情况1:如果点Q在线段AB上.
∵QA=QB.∴点Q是线段AB的中点.
即点Q在线段AB的垂直平分线上.
情况2:如果点Q不在线段AB上.
过点Q做QC⊥AB垂足为点C.
∵QA=QB(已知),QC⊥AB(作图)
∴CA=CB(等腰三角形的三线合一)
即点C是线段AB的中点.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上.(线段的垂直平分线的定义)
逆定理:到线段的两个端点的距离相等的点
在这条线段的垂直平分线上.
A
Q
B
看图填空:
∵QA=QB(已知)
∴点Q在线段AB的垂直平分线上.
(_____________________________________)
到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
任何图形都是由点组成的,因此我们可以把图形看成
:
组成线段AB的垂直平分线的所有点到A、B两点的
距离都相等.
2. 到A、B两点的距离都相等的所有点都在线段AB的
垂直平分线上.
线段的垂直平分线可以看作是到线段的两个
端点的距离相等的点的集合.