文档介绍：calculus § 定积分基本积分方法 3 0 1 sin sin x xdx ???例:求 3 2 sin sin sin sin sin cos x x x x x x ? ???解:由于被积函数(1) 一、直接积分法 cos sin , 0 2 cos sin , 2 x x x x x x ????? ??????? ???? calculus 3 202 3 3 2 2 2 02 sin sin cos sin cos sin 2 2 4 (sin ) (sin ) 3 3 3 x xdx x xdx x xdx x x ????????? ?? ???? ? 0所以 calculus 二、定积分的换元积分法'' 1 ( ) [ , ] ( ), ( ) ( ) [ ] ( ) (2) [ ] ( ) [ ] ( ) , ( ) ( ) [ ( )] ( ) ba f x a b x t ttt t t a a a b f x dx f t t dt ????? ???? ? ?? ?? ????? ?定理:设函数在上连续,令如果满足下面条件: (1)x= 在区间,上是单值函数,并且有连续的导数当在区间,上变化时,x=的值在区间,b 上变化,且则 calculus 1201 x dx ? ??解: 作代换 sin , 0 , 2 x t t ?? ??则它是单值函数,有连续导数,且当 0t?时 0,x?当 2 t ??时 1,x?故有 2 2 20 10 20 21 1 sin sin cos td t td xt dx ? ?? ?? ?? ?? 20 1 cos2 2 tdt ???? 20 sin 2 2 4 4 t t ??? ?? ? ?? ?? ? calculus , 常用的有根式带环、三角代换、倒代换; 说明: ,即在左变量代换后,积分上下限要做相应的改变,然后直接求出结果,不必回带,这是与不定积分的不同之处。 calculus 例1计算 4 20 22?? dx xx解设, sin 2tx?2 ??t tdt dx cos 2?当 0?x时, 0?t;当 2?x时,于是, 4 20 22?? dx xx tdt tt cos 2 sin 44) sin 2( 2 20 2?????dtt?? 20 2)2 (sin 4 ?dtt??? 20)4 cos 1(2 ?2044 12 ?)t sin t(???? calculus 2 40dx x x???.3,4???tx tdt t t???? 31 222 1??? 31 2)3(2 1dtt3 22 ?解设,12tx??,2 1 2?? tx , tdt dx?;1,0??? 2 40dx x x??? 31 333 12 1)tt(?? calculus [ ( )] '( ) ( ) ba f t t dt f x dx ??? ??? ?这就是凑微分法。 calculus 例3计算 40 8 4 2 1 xdx x ????解: 由于 2 2 (8 4) (4 4 1) [(2 1 ] ,) x dx d x x d x ? ?????令 2 1, u x ? ?则原式= 3 3 3 4 2 3 1 1 1 1 4 104 4 3 3 du u du u u ?