文档介绍：微积分张博宇 2013-12-16 第二章一元微积分初步 ?设f在[a,b]上连续,则函数在[a,b]上可导,并且即是f(x)在[a,b]上的一个原函数。( ) ( ) xa x f t dt ? ??'( ) [ ( ) ] ( ). xad x f t dt f x dx ? ? ??( ) x?揭示了定积分和不定积分间的联系! 微积分学基本定理?设f(x)在[a,b]上连续(可积),且 F(x)是f(x) 的一个原函数,则称为微积分基本公式或牛顿-莱布尼茨公式。也可写为( ) ( ) ( ) ba f x dx F b F a ? ??( ) ( ) | bba a f x dx F x ??例子 221 (1) 1 2 cos r J dx r x r ?????? ??- ( ) ( ) ( ) ba f x dx F b F a ? ?? ??扩展版牛顿莱布尼茨公式 22 1 1 2arctan tan 1 2 cos 1 2 r r x dx C r x r r ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ??( ) ( ) 2 J F F ? ??? ?? ???例子 0 (2) 2 cos2 dx Jx ???? 202- ( ) ( ) J f x dx f x dx ???? ?? ?由扩展版牛顿莱布尼茨公式 1 tan arctan 2 cos2 3 3 dx x C x ? ?? ?? ??? ?? 3 ??不是原函数! 分段函数的原函数?求f(x)在[0,3] 的不定积分,其中 1 1 ( ) 1 2 2 2 x f x x x x ???? ??????。 211 ( ) ( ) 1 2 2 2 3 2 2 2 x C x x F x f x dx C x x C x ?? ????? ????????? ? ????分段函数的定积分?求f(x)在[0,3] 的定积分。?方法 1:牛顿-莱布尼茨公式?方法 2:分段积分 3 1 2 3 0 0 1 2 9 ( ) 1 2 2 f x dx dx xdx dx ? ???? ??? 330 09 ( ) ( ) . 2 f x dx F x ? ??定积分求面积?若f(x)有正有负, ?由y=f(x ) ,x=a, x=b以及 x轴所围成的曲边梯形的面积为)(xfy?x yoab 1S 2S 3S 1 2 3 ( ) . ba f x dx S S S ? ???| ( ) | . ba S f x dx ???求y= sin x在与x轴所围的面积。?求y=x 2与x 2 +y 2 =2 所围成的面积。定积分求面积 1 1 2 2 1 1 2 d d S x x x x ? ?? ??? ? 0 0 |sin | d sin d sin d S x x x x x x ? ?? ?? ?? ???? ?? 2xy?2 22??yx x yo 1?1 22 2 d 2 arcsin 22 x x x x x C ??? ??? 4?[ , ] ???1 4 3 ?? ?