文档介绍：分治法的适用条件分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决;该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子问题。1因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加,因此大部分问题满足这个特征。这条特征是应用分治法的前提,它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用能否利用分治法完全取决于问题是否具有这条特征,如果具备了前两条特征,而不具备第三条特征,则可以考虑贪心算法或动态规划。这条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的,则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然也可用分治法,但一般用动态规划较好。使用分治法的前提是问题是可分治的。所谓可分治,是指满足下列两点:(1)可分解 问题能分解为更小、更容易解决的子问题。(2)可综合 由子问题的综合,可以解决真个问题。2分治法的基本步骤divide-and-conquer(P){if(|P|<=n0)adhoc(P);//解决小规模的问题dividePintosmallersubinstancesP1,P2,...,Pk;//分解问题for(i=1,i<=k,i++)yi=divide-and-conquer(Pi);//递归的解各子问题returnmerge(y1,...,yk);//将各子问题的解合并为原问题的解}3人们从大量实践中发现,在用分治法设计算法时,最好使子问题的规模大致相同。即将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想,它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。4分治法的复杂性分析一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。设分解阀值n0=1,且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间,则有:5通过迭代法求得方程的解:注意:递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值,但是如果认为T(n)足够平滑,那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的,从而当mi≤n<mi+1时,T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。6二分搜索技术给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1],现要在这n个元素中找出一特定元素x。分析:该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决;该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题;分解出的子问题的解可以合并为原问题的解;分解出的各个子问题是相互独立的。分析:很显然此问题分解出的子问题相互独立,即在a[i]的前面或后面查找x是独立的子问题,因此满足分治法的第四个适用条件。7给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1],现要在这n个元素中找出一特定元素x。据此容易设计出二分搜索算法:template<classType>intBinarySearch(Typea[],constType&x,intl,intr){while(r>=l){intm=(l+r)/2;if(x==a[m])returnm;if(x<a[m])r=m-1;elsel=m+1;}return-1;}算法复杂度分析:每执行一次算法的while循环,待搜索数组的大小减少一半。因此,在最坏情况下,while循环被执行了O(logn)次。循环体内运算需要O(1)时间,因此整个算法在最坏情况下的计算时间复杂性为O(logn)。8大整数的乘法分析算法的计算复杂性时,加和乘当作基本运算处理,即执行一次加法和乘法运算所需的计算时间当作一个仅取决于计算机硬件处理速度的常数。有时我们要处理很大的整数,无法用硬件精确的表示时,若用浮点数表示,只能近似的表示。我们需要用软件的方法来解决。9请设计一个有效的算法,可以进行两个n位大整数的乘法运算小学的方法:O(n2)效率太低分治法:X=Y=X=a2n/2+bY=c2n/2+dXY=ac2n+(ad+bc)2n/2+bdabcd10