文档介绍：。:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。注:(1(2)。定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。OB=OA+AB=a+b;BA=OA-OB=a-b;OP= 入a(入€R)运算律:⑴加法交换律:a+b=b+a⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)⑶数乘分配律:入(a+b)=入a+入b运算法则:三角形法则、平行四边形法则、。(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a平行于b(2)共线向量定理:空间任意两个向量 a,记作a//b 。、b(b工0),a//b存在实数入,使a=入b。(3)三点共线:A、B、C三点共线AB=入ACOC=xOA+yOB(其中x+y=1) (4)与a共线的单位向量为±共面向量(1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。(2)共面向量定理:如果两个向量 a,b不共线,p与向量a,b共面的条件是存在实数x,y使p=xa+yb。(3)四点共面:若A、B、C、P四点共面AP=xAB+yAC个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc。若三向量a,b,c不共面,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c叫做基向量,空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC。空间向量的直角坐标系:(1)空间直角坐标系中的坐标:在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使,有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标。OA=xi+yi+zk注:①点A(x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z). 即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。②在 y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)用{i,j,k} 表示。空间中任一向量 a=xi+yj+zk= (x,y,z)(3)空间向量的直角坐标运算律:若a=(a1,a2,a3) ,b=(b1,b2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) ,a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) ,入a=(入a1,入a2,入a3)(入€R),a?b=a1b1+a2b2+a3b3 ,a//b ?a1=入b1,a2=入b2,a3=入b3(入€R),a丄b?a1b1+a2b2+a3b3=0 。若A(x1,y1,z1) ,B(x2,y2,z2) ,则AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1) 。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式:若A(x1,y1,z1) ,B(x2,y2,z2) ,AP(x1+入x21+入,y1+入y21+入,z1+入z21+入=入PB,则点P坐标为)。推导:设P(x,y,z)则(x-x1,y-y1,z-z1)= 入(x2-x,y2-y,zz),x1+x22,y1+y22,z1+z2)显然,当P为AB中点时,P(?ABC中,A(xP(1,三角形重心P坐标为,y1,z1 ),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)x1+x2+x33y1+y2+y3z1+z2+z3,)22AABC的五心:内心P:内切圆的圆心,角平分线的交点。 AP=入+(单位向量)外心P垂心P:高的交点:PA?PB=PA?PC=PB?PC(移项,内积为0,则垂直)重心P:中线的交点,三等分点(中位线比) AP=中心:正三角形的所有心的合一。(4)模长公式:若a=(a1,a2,a3) ,b=(b1,b2,b3) ,则|a|=,|b|==a?bcosa ?b==(5)夹角公式:|a|?|b|13(AB+AC)AABC中①AB?C>0A为锐角②AB?ACA为钝角,钝角A(6)两点间的距离公式:若A(x1,y1,z1) ,B(x2,y2,z2) ,则|AB|=或dA,B空间向量的数量积。空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量 a,b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,则/AOB叫做向量a与b的夹角,记作;且规定n0<<n,=a丄b。显然有;若=,则称a与b互相垂直,记作:2向量的