文档介绍：第一节矩阵的概念
第四节矩阵的初等变换与矩阵的秩
第二节矩阵的运算
第五节可逆矩阵
第三节方阵与分块矩阵
第二章矩阵理论
矩阵的概念
第一章行列式
作行列式( i j )
第 i 行
第 j 行
证
则其除第 j 行与行列式 D 的第 i 行相同外,其余各行均与 D 的对应元素相同. 由于第 i 行与第 j 行各元素对应相同, 故上行列式为零, 将其第 j 行展开可得
类似地, 有
定义1
第二章矩阵理论
由 m n 个数 aij ( i =1, 2, …, m ; j =1, 2, …, n ) 有序地排列成 m 行(横排) n 列( 竖排) 的数表
称为一个 m 行 n 列的矩阵,简记为( aij )m n , 通常用大写字母 A、B、C、…表示. m 行 n 列的矩阵 A 也写成 Am n , 构成矩阵的每个数称为矩阵的元素,而 aij 表示矩阵第i 行第j 列的元素.
有几种特殊的矩阵:
1) 只有一行的矩阵( a1, a2, …, an ) 称为行矩阵;
2) 只有一列的矩阵
称为列矩阵;
3) 元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为 O, 若强调零矩阵是 m 行 n 列的,则记为 Om n .
第二章矩阵理论
规定:两个矩阵 A 和 B 若行数相等,列数也相等(称它们同型),且对应元素也相等,即若 A = ( aij )m n , B = ( bij )m n ,
Aij = bij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n )
则称 A 与 B 相等,记作 A = B .
注意:不同型的零矩阵是不相等的.
有了矩阵的概念后,m 个方程 n 个未知量的线性方程组
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1,
a21x1+a22x2+…+a2nxn = b2,
…………
am1x1+am2x2+…+amnxn = bm
与 m 行 n+1 列矩阵
形成一一对应,于是可利用矩阵来研究线性方程组的求解.
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例 1
解
第二章矩阵理论
写出线性方程组
2 x1 + x2 5 x3 + 4 x4 = 8 ,
x1 3 x2 5 x4 = 9 ,
2 x2 x3 + 2 x4 = 5 ,
x1 + 4 x2 7 x3 + 6 x4 = 0
所确定的矩阵.
所求矩阵为
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矩阵的运算
一、矩阵的加法和减法
二、数与矩阵的乘法
三、矩阵与矩阵的乘法
四、矩阵的转置
定义1
第二章矩阵理论
§
一、矩阵的加法和减法
设有两个 m n 矩阵 A = ( aij )m n , B = ( bij )m n , 则矩阵
称为矩阵 A 与 B 的和,记为 C = A+B.
注意:只有同型的矩阵才能进行加法运算.
易知,矩阵的加法满足下列运算规律:
( i ) 交换律: A + B = B + A ;
( ii ) 结合律:( A + B ) + C = A + ( B + C ) ;
( iii ) A + O = A .
这里 A、B、C、O 均为 m n 矩阵.
第二章矩阵理论
设矩阵 A = ( aij )m n , 则称矩阵( aij )m n 为矩阵 A 的负矩阵,记为A , 即
显然 A + ( A ) = O .
利用负矩阵,定义矩阵的减法为
A B = A + ( B )
= ( aij bij )m n .
注意:两矩阵只有同型,才能进行减法运算.
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定义2
第二章矩阵理论
二、数与矩阵的乘法
设为常数, 矩阵 A = ( aij )m n , 则称矩阵( aij ) m n 为数与矩阵A 的乘积,记为 A, 即
易知,数与矩阵的乘法满足下列运算规律:
( i ) 结合律: ( ) A = ( A ) = ( A ) ;
( ii ) 分配律: ( A + B ) = A+ B ,
( iii ) 1 A = A , ( 1 ) A = A ,
其中 A、B 均为 m n 矩阵, 而、为常数.
( + ) A = A+ A ;
§