文档介绍：第一节内积, 欧氏空间Rn
第二节标准正交基
第三节向量积与混合积
第五章欧氏空间
第四节 R 3 中直角坐标系下直线与平面方程
第五节空间曲面, 空间曲线及其方程
一、几何空间中向量的内积
二、n 维向量的积
内积、欧氏空间R
n
三、欧氏空间 Rn
一、几何空间中向量的内积
1. 空间向量及两向量的夹角(回顾)
实际问题中, 既有大小又有方向的物理量称为向量.
第五章欧氏空间
§1. 内积、欧氏空间Rn
①几何上用有向线段表示一个向量, 线段的长度表示向量的大小.
②空间向量为自由向量. 在直角坐标系下, 将向量的起点移至原点, 称之为向径.
点向 M(x, y, z)
OM = (x, y, z)
③向量= (x, y, z) 的长度
④向量的方向角
⑤将空间两向量, 的起点移至一点o, 两有向线段的夹角(0≤≤),称为向量与的夹角,


当
时,称与垂直(正交),记作.
当= 0 或时,称与平行(共线),记作// .


o


记为(a, b)
第五章欧氏空间
例如, 常力 f 作用于物体, 使之产生位移 s,
s
f
2. 空间向量的内积.
这个力所作的功为
定义1
设, R3, 记与的夹角为
, 称数
为向量与的
内积( 数量积), 记为·, 即
(1)
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第五章欧氏空间
在直角坐标系下, 设空间向量= (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2), 由于, 及构成三角形的三条边,



则由余弦定理知:
即
所以
(2)
3. 内积的坐标表示.
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第五章欧氏空间
与的夹角

的长度
因为= x12+y12+z12 ,
(,  0 ) .
, 所以
4. 用内积表示向量的长度及向量的夹角
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定义2
第五章欧氏空间
二、n 维向量的内积
1. Rn 中向量内积定义
设, Rn, = (x1, x2, …, xn), = (y1, y2, …, yn), 称数 x1 y1 + x2 y2 + …+ xn yn 为与的内积. 记为(, ) , 即
(, ) = x1 y1 + x2 y2 + …+ xn yn (3)
2、内积的性质
设, ,则Rn , kR, 则上面定义的内积满足以下性质:
当且仅当= 0 时, 等号成立.
性质(1) 到(4) 的证明可由内积定义直接推得.
(1)
(2)
(3)
(4)
§1. 内积、欧氏空间Rn
定义4
定义3
第五章欧氏空间
三、欧氏空间Rn
称定义了内积的 n 维实向量空间 Rn 为 n 维欧几里得(Euclid) 空间, 简称欧氏空间, 仍记作Rn.
三维欧氏空间 R3 具有直观性,习惯上称之为几何空间. R3 中向量长度及两向量的夹角等概念通过内积可平行推广到 Rn, 使 n 维欧氏空间具有可度量性.
设= (x1, x2, …, xn)Rn, 的长度
| | 定义为
, 即
(4)
特别地,
时, 称为单位向量.
当
故称
为的单位化向量.
=1 ,
§1. 内积、欧氏空间Rn
定义5
第五章欧氏空间
设,  Rn, = (x1, x2, …, xn ), = (y1, y2, …, yn ) ,
称
为空间两点(或两向量间)的距离,并称之为欧氏距离.
定理 1
向量内积满足
(5)
且等号成立的充要条件是与线性相关.
(5) 式称为柯西施瓦兹(Cauchy-Schwarz) 不等式.
当,  0 ,由柯西施瓦兹不等式可得:
证
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定理 2
定义6
向量a, b 之间的夹角定义为
(6)
称与正交,记.
称与共线,记// .
由定义知:
几何学中的三角不等式, 余弦定理, 勾股定理可推广至 n 维欧氏空间 Rn .
设a, b是欧氏空间Rn 中的两个向量则.
(7)
(8)
(1)
(2)
(三角不等式)
(余弦定理)
证
第五章欧氏空间
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