文档介绍：第一节线性变换的概念
第二节线性变换和矩阵
第三节特征值与特征向量
第六章线性变换
第四节线性变换的不变子空间,象与核
一、线性变换的概念
二、线性变换的性质
线性变换的概念
*三、线性变换的运算
定义1
一、线性变换的概念
设是向量空间 V 到其自身的一个映射,如果满足:
1) ( + ) = ( ) + ( ),
2) ( k ) = k( ).
其中, 为V 中任意向量,k 为任意实数
有上面的性质也说成保持向量的线性运算.
则称是 V 的一个线性变换. () 称为在下的象,也可记为.
§1 线性变换的概念
(1) 向量空间中变换的写法
: ( x, y) ( x + y, x y ), (x, y) R2
( x, y) = (x + y, x y), ( x, y) R2
注:
(2)
可简写成
(+ ) = () + (),
(k) = k ( ).
第六章线性变换
例 1
R3 中( x, y, z) = (x, y, 0) 是线性变换.
事实上, 设= ( x1, y1, z1) , =( x2, y2, z2)
(+ ) = ( x1+ x2 , y1 + y2, z1+ z2 )
= ( x1+ x2 , y1 + y2, 0 )
= ( x1, y1, 0) + ( x2, y2, 0)
= () + ( ).
证
(k) = (k x1, k y1, kz1 )
= ( k x1, k y1, 0 )
= k (x1, y1, 0 )
= k ( ).
故( x, y, z) = (x, y, 0) 是 R3 中线性变换,称之为 R3 中向 xOy 面的投影变换.
x
y
z
( x, y, z)
(x, y, 0)
0
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例 2
在 R2 中,设 0 ≤< 2, 令
:(x, y)(x cos ysin, xsin+ ycos)
则是 R2 的一个线性变换.
称线性变换是绕原点按逆时针方向旋转角的旋转变换.
x
y
( x, y)
0
事实上,由
( (x, y)+(x1 , y1))=(x+x1, y+y1)
证
故是线性变换.
第六章线性变换
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例 4
例 3
向量空间 V 中:
:,V
: 0,V
显然、都是线性变换. 分别称为恒等变换和零变换,恒等变换记为I ,零变换记为0,即
I () = , 0() = 0.
R2 中( x, y) = (x y, 0), 是否是线性变换?
例 5
下列变换:
1:(a1, a2, …, an) (a1, 0, 0, …, 0);
2:(a1, a2, …, an) (a1, a2, a3, …, an1, 0);
3:(a1, a2, …, an) k(a1, a2, a3, …, an);
4:(a1, a2, …, an)
其中(a1, a2, …, an) 是任一 n 维向量,bij 为取定实数 i, j=1, …, n, 则1 , 2 , 3 , 4 都是 Rn 的线性变换.
第六章线性变换
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解答
二、线性变换的性质
(1) ( 0 ) = 0, ( ) = ().
(2)
(3) 若1, 2, …, s 线性相关,则(1 ), ( 2), …, ( s)也线性相关.
§1 线性变换的概念
第六章线性变换
一、线性变换的矩阵
二、象与原象的坐标变换公式
线性变换和矩阵
三、同一线性变换在不同基下的矩阵
§2 线性变换和矩阵
一、线性变换的矩阵
设 V 是一个 n 维向量空间, 1, 2, …, n 是 V 的一组基. 对于 V 的一个线性变换, (1), (2), …, (n)是 V 中的 n 个向量,它们能由 V 的基线性表出.
(1)
(1) = a111+ a212 + … an1n,
(2) = a121+ a222 + … an2n ,
……………
(n) = a1n1+ a2n2 + … annn ,
= ( 1, 2, …, n )
((1), (2), …, (n))
A
设
第六章线性变换
((1), (2), …, (n) ) = (1, 2