文档介绍：相似矩阵的有关性质及其应用作者王国强数学系数学与应用数学专业指导教师金银来数学系教授摘要若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。相似矩阵有很多应用。例如:利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性;两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系;矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果;尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。关键词:相似矩阵;对角化;Jordan标准型;特征向量;特征值Abstract:,,especially,:similarmatrices;diagonalmatrix;Jordan’snormalform;characteristicvalue;,B是n阶方阵,如果存在可逆阵P使得P-1AP=B,,则称A可相似对角化,即存在可逆阵P使,-1AP=B,即A相似于B,则ⅰ)|A|=|B|;ⅱ)tr(A)=tr(B);ⅲ)|A-λI|=|B-λI|.,,,,,以下三条等价:⑴A可对角化;⑵A有n个特征值(重根按重数计),且r(>1)重特征值;⑶:特征值法,(组),如何求解微分方程(组),(3-1)写成矩阵形式为(3-2)其中u=(,为系数矩阵,令(3-2)式的解u=,(3-3)即(=.将(3-3)式代入(3-2)得==,化简得,即(3-3)式中为A的特征值,X为对应的特征向量;若A可对角化,则存在n个线性无关的特征向量于是得到(3-2)=,u=,u=.它们的线性组合c+c+…+c,(3-4)(其中为任意常数)为(3-1)式的一般解,将(3-4)式改写成矩阵形式u=,记c=(),=()p=,则(3-1)式或(3-2)式有一般解(3-5)对于初值问题(3-6)解为(3-7)因为t=0代入(3-5)式得c=.:解本题的初始值问题为其中,可得A的约当标准形,即有可逆矩阵=,(3-7)式,该初值问题的解为(3-8)其中(3-9)(3-10)将(3-10)式代入(3-9)式得(3-11)再将(3-11)式及代入(3-8)(3-12)解令,,则方程组(3-12)可表示成矩阵形式(3-13)假设可以相似对角化,即存在可逆矩阵,(3-14)其中,将式(3-14)代入式(3-13),得即(3-15)在上式两端同时左乘,得即将上式积分,得(3-16