文档介绍：第零章预备知识
§ 向量的线性运算
§ 向量及其表示
向量: 速度, 加速度, 力等等. 用一个有向线段来表示它. 以 A 为起点,B 为
−→
终点的有向线段所表示的向量记为 AB(图 ). 还常用小写的粗体字母 a,b,···
来记向量.
如果两个向量的大小相等、方向相同, 就称这两个向量是相等的. 如图
−→−→
中, AB 和 A0B0 是相等的向量, 记作
−→−→
AB=A0B0 .
自由向量: 能平移至任意起点的向量.
相反向量: 两个向量的大小相等而方向相反.
负向量.
向量模及其向量模的表示.
§ 向量的线性运算
如果两个向量是相反向量, 则其和显然为零向量, 就是
a + (−a) = (−a) + a = 0.
显然, 还有
a + 0 = 0 + a = a.
从三角形法则容易证明向量的加法满足交换律, 即
a + b = b + a.
从图不难看出, 向量的加法满足结合律
a + (b + c) = (a + b) + c,
因而可以略去括号而记
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).
向量的减法与数量的减法一样, 定义为加法的逆运算.
向量与数的乘积.
设有向量 a 和数λ, 则其乘积表示这样一个向量, 它的模等于向量 a 的模
之|λ| 倍, 当λ大于零时它与 a 同向, 当λ小于零时与 a 反向(图 ).
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2 第零章预备知识
由定义可知
0a = 0.
显然又有
(−1)a = −a.
向量的线性组合.
利用向量与数的乘积, 向量 a 可以表示为
a = |a|a0,
其中 a0 表示与 a 同向的单位向量. 由此得到
a
a0 = .
|a|
即一个不为零的向量除以它的模后是与它同向的单位向量.
向量与数的乘积具有以下性质.
设 a 与 b 是给定的两个向量, 而λ及µ 是任意常数, 则有
(λ+ µ)a = λa + µa;
λ(µa) = µ(λa) = (λµ)a;
λ(a + b) = λa + λb.
§ 向量的共线与共面
向量共线, 向量共面.(零向量和任一个向量共线.)
向量 a,b 共线的充分必要条件是, 有实数λ, 使 a = λb 或 b = λa.
向量 a,b,c 共面的充分必要条件是: 其中一个向量可以表成其余二个向量
的线性组合.
§ 坐标系
在空间中, 任取一点 O, 从点 O 画三条互相垂直的直线, 依次记为 OX,OY,OZ.
这样就得到一个直角坐标系. 如果在坐标轴 Ox,Oy,Oz 上以 O 为起点分别取三
个单位向量 i, j,k, 其方向与轴的正方向相同, 这些单位向量称为坐标系 Oxyz
的基本单位向量.
给定向量 a, 过向量 a 的终点 A 作三平面分别与坐标平面平行, 且与各坐
标轴交于点 X,Y,Z. 易知
−→−→−→
OX= a1i, OY= a2 j, OZ= a3k.
由向量加法的三角形规则可得
−→−→−→−→−→−→−→−→