文档介绍：第七章第七章多项式多项式有限域有限域群环域的关系群环域的关系域整区体半群***换群环交换环无零因子环含壹环§ § 域的特征域的特征素域素域? 域的特征? 素域?例子:剩余类环 I/pI, 为域当且仅当 p为质数。?分析 I/ pI ={ , , …, } ,若 I/ pI为域,则有域为体知,无零因子。当 p不是质数时 p=st,1 ? s,t?p,知= = ,即它们是零因子,矛盾。?反之,若要证明 I/ pI为域,只要其中任意非零元素有乘法逆即可。已知 p为质数,对任意的? I/ pI,有p为质数知与 a互质,因此有整数的知识我们能够知道存在整数 s,t 使 as+pt=1 ,得到?= = = 因此为的乘法逆元。 01 1?pst p0 as as pt as? 1sa 域的特征域的特征?定义 域(F,+, ·) 中非零元素关于+ 运算的周期称为域 F的特征。?例模7的整数环( Z 7 ,+, ·)是域。 Z 7 ={0,1,2,3,4,5,6}, 该域的特征为 7,如 1+1+1+1+1+1+1=7(mod7)=0, ? 3+3+3+3+3+3+3=21 ( mod7)=0 。模8 的整数环(Z 8 ,+, ·)是域吗?为什么? ?我们可以证明整数环(Z p ,+, ·)在p 为质数时是域, 它们是最为重要的有限域,域的周期与域的元素个数相等均为 p。那么是否有元素个数不是质数的有限域呢?答案是肯定的,我们将在第 6 节详细讲解。?定理 域的特征 p或为质数或为 0 证明证明?分析,由域的定义知,域显然是一个消去环,我们回顾一下上一章环中性质 直接得到结论. 这里的证明只不过是把任意不为 0的a 换成了 e, F的特征 p≠0,则p一定为质数。用反证法。设 p不是质数,则 p = hk , 1< h < p , 1< k < p 因此, pe = ( hk)e = ( he)(ke )而 pe = 0 。因为域中无零因子,这蕴涵 he=0 或 ke =0 ,和 e的周期为 p矛盾。?定理 设F 是域,那么当 F 的特征为质数 p 时, F 包含一个与模 p的剩余类环(域)同构的子域;当 F 的特征为 0时, F包含一个与有理域 Q同构的子域。?设F是一个域, е是F的壹, 0’为F中的零,作映射: σ:n→ ne, n ? I 。则: (1) σ是整数环 I到F内的映射。 因为 e ? F, 2 e = e+e ? F,…, ne? F, 故σ(I) ? F。σ(I) ={ …,-2e,-e, 0’,e,2e, …} (2) σ是整数环 I到F内的同态映射。因为σ(m+n)=(m+n)e = me+ne =σ(m)+ σ(n) , σ( mn )=( mn )e=( me )( ne)=σ(m)σ(n)。设N是σ的核,则 N是I的理想。当质数 p为F的特征,则 N = { np | n ? I} = pI。此时 I的同态象σ(I) ={0 ’,e,2e, …,(p-1)e} ?F。根据环同态基本定理 , 商环 I/N=I/ pI=R p同构于I’=σ(I) ,而商环 R p在p为质数时是一个域,因此F包含一个与模 p的剩余类环(域)同构的子域 I’。因F的任意子域必然包含 e及其任意整数倍,就是说,必然包含 I’,所以 I’是F的最小子域。即, F包含和 R p同构的 I’为其最小子域。?若F的特征 p为0 由于σ的核 0I只含 0,所以 I′和 I=I/ pI同构。 I′还不是一个域,故扩充σ: ( n≠0) 往证σ为有理域 R 0到F内的一个同态映射。(1)先证σ为有理域 R 0到F内的一个单射。若h/k = m/n ,则 hn = km ,因此, (he)(ne )=( ke)(me ), 故, he/ ke = me/ ne, 这就是说,由σ所规定的 m/n 的映象由m/n 唯一确定,而与这个有理数的表示方法无关。即σ是单射。 ne me n m??再证σ为同态映射。 R 0是一个域而σ不是把它的所有元素映到 0’, 所以, σ是R 0到其映象的同构映射。 F的任意子域要包含 e,e的整数倍及其逆,即包含,所以,F包含和 R 0 同构的为其最小子域。),()( ) )(( ) )(() )(()( )()()(k hn m ke he ne me kene he ne ke me enk