文档介绍：2009年高考数学一轮复习资料三
19、题目高中数学复习专题讲座不等式知识的综合应用
高考要求
不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一,作为解决问题的工具,与其他知识综合运用的特点比较突出不等式的应用大致可分为两类一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题;另一类是建立函数关系,利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法,使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题
重难点归纳
1 应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题,在解决这些问题时,关键是把非不等式问题转化为不等式问题,在化归与转化中,要注意等价性
2 对于应用题要通过阅读,理解所给定的材料,寻找量与量之间的内在联系,抽象出事物系统的主要特征与关系,建立起能反映其本质属性的数学结构,从而建立起数学模型,然后利用不等式的知识求出题中的问题
典型题例示范讲解
例1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米,盖子边长为a米,
(1)求a关于h的解析式;
(2)设容器的容积为V立方米,则当h为何值时,V最大?求出V的最大值(求解本题时,不计容器厚度)
命题意图本题主要考查建立函数关系式,棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值
知识依托本题求得体积V的关系式后,应用均值定理可求得最值
错解分析在求得a的函数关系式时易漏h>0
技巧与方法本题在求最值时应用均值定理
解①设h′是正四棱锥的斜高,由题设可得
消去
②由(h>0)
得
所以V≤,当且仅当h=即h=1时取等号
故当h=1米时,V有最大值,V的最大值为立方米
例2已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时|f(x)|≤1
(1)证明|c|≤1;
(2)证明当-1 ≤x≤1时,|g(x)|≤2;
(3)设a>0,有-1≤x≤1时, g(x)的最大值为2,求f(x)
命题意图本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质,以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力
知识依托二次函数的有关性质、函数的单调性是药引,而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂
错解分析本题综合性较强,其解答的关键是对函数f(x)的单调性的深刻理解,以及对条件“-1≤x≤1时|f(x)|≤1”的运用;绝对值不等式的性质使用不当,会使解题过程空洞,缺乏严密,从而使题目陷于僵局
技巧与方法本题(2)问有三种证法,证法一利用g(x)的单调性;证法二利用绝对值不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;而证法三则是整体处理g(x)与f(x)的关系
(1)证明由条件当=1≤x≤1时,|f(x)|≤1,
取x=0得|c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1
(2)证法一依题设|f(0)|≤1而f(0)=c,
所以|c|≤1 当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,
于是g(-1)≤g(x)≤g(1),(-1≤x≤1)
∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),|c|≤1,
∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|=2,
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-2)|+|c|)≥-2,
因此得|g(x)|≤2 (-1≤x≤1);
当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,
于是g(-1)≥g(x)≥g(1),(-1≤x≤1),
∵|f(x)|≤1 (-1≤x≤1),|c|≤1
∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2
综合以上结果,当-1≤x≤1时,都有|g(x)|≤2
证法二∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)
∴|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,|f(0)|≤1,
∵f(x)=ax2+bx+c,∴|a-b+c|≤1,|a+b+c|≤1,|c|≤1,
因此,根据绝对值不等式性质得
|a-b|=|(a-b+c)-c|≤|a-b+c|+|c|≤2,
|a+b|=|(a+b+c)-c|≤|a+b+c|+|c|≤2,
∵g(x)=ax+b,∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2,
函数g(x)=ax+b的图象是一条直线,
因此|g(x)|在[-1,1]上的最大值只能在区间的端点x=-1或x=1处取得,于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2,(-1<x<1
当-1≤x≤1时,有0≤≤1,-1≤≤0,
∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),∴|f |≤1,|f()|≤1;
因此当-1≤x≤1时,|g(x)|≤|f |+|f()|≤2
(3)解因为a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当x=1