文档介绍：§7正定二次型★正定二次型和正定矩阵的概念★判别二次型或矩阵正定的方法正定二次型是二次型中讨论最多的类型,本节结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念,并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。页关闭正定二次型和正定矩阵的概念二次型的标准形不是唯一的。标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩)。限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是不变的。定理11(惯性定理)设有实二次型∫=xAx,它的秩是r,有两个实的可逆变换=y与x=Pz,使k1y1+k2y2+……+ky,(k1≠0)及A1x1+A232+…+无x,(1≠0)则k1,k2,…,k中正数的个数与1,2,…,,负数的个数称为负惯性指数页下页定义9设有实二次型∫=xAx,如果对于任何x≠0,都有f(x)>0,(显然f(0)=0),则称∫为正定二次型,并称对称阵A是正定的。记作A>0;如果对任何x≠0,都有fx)<0,则称∫为负定二次型,并称对称阵A是负定的,记作A<0定理12实二次型f=x7Ax为正定的充分必要条件是:它的标准形的n个系数全为正。证设可逆变换x=Cy使f(x)=f(Cy)=∑ky2上页下页返回先证充分性设k,>0(i=1,2,…,n).任给x≠0,则Cx≠0,故x)=∑ky2>0i=1再证必要性:用反证法。假设有k≤0,则当y=c,时,(单位坐标向量)时,f(Ce)=k,≤0显然Ce,≠0这与假设∫正定矛盾,故k>0推论对称阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正。上页下页返回定理13对称阵A为正定的充分必要条件是:A的各阶主子式都为正。即a1>0,00;21对称阵A为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正。即(-1)>0,(=1,2,…,n)这个定理称为霍尔维兹定理上页下页返回注意:对于二次型,除了有正定和负定以外,还有半正定和半负定及不定二次型等概念。上页下页返回判别矩阵正定的方法根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法。是求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则4为负定的。二是计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的上页下页返回例16判定对称矩阵A=130正定性。003解方法一因为a1=3>0=8>0,|A=130=24>0所以A是正定的。上页下页返回方法二:A的特征多项式为3-A01A-E|=13-40=(2-4)(3-4)(4-)故A的特征值为1=2,2=3,A3=4从而知4是正定的上页下页返回判别二次型正定的方法由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判别法知,判断二次型的正定性也有两种方法。是利用对称矩阵A的正定性。若二次型f的对称矩阵A是正定的,则是正定二次型;若A是负定的,则f也是负定二次型。二是将∫化为标准形。若其标准形的n个系数全为正,则∫是正定的;若∫的标准形的n个系数全为负,则f是负定的由于将∫化为标准形非常复杂,因此第二种方法一般不用上页下页返回