正定二次型与正定矩阵.ppt

文档介绍：第八章二次型Quadratic Form
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y
x
x’
y’
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二次型与相伴对称矩阵_1
定义数域K上的n元二次齐次多项式
称为K上的n元二次型,简称二次型.
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§ 目的与要求
掌握二次型与相伴矩阵的一一对应关系
二次型的非退化线性替换与对称矩阵的合同关系
二次型与对称矩阵的标准型
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二次型与相伴对称矩阵_2
定义
这里A’=A∈Kn×n,X∈Kn× 的相伴矩阵,f 称为对称阵A的相伴二次型.
{数域K上n元二次型} {数域K上n阶对称矩阵}.
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例子
例1 判断下列多元多项式是否为二次型:
例2 求下列二次型的相伴矩阵:
例3 求下列矩阵的相伴二次型:
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是否任何二次型都可”变成”只含平方项?(标准型)

是否任何对称阵都可”变成”对角阵?
非退化
线性替换
合同
问题
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二次型的非退化线性替换与矩阵的合同
设 f (x1,…,xn) = X’AX是K上n元二次型, 做非退化线性替换X=CY, 其中C是K上的n阶可逆阵, 则 f ( x1,…,xn ) = Y’C’ACY = g( y1,…,yn ).
定义: A , B∈Kn×n , B与 A称为合同的,如果存在n阶可逆阵C, 使B = C’AC.
注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系.
注 2: 若A与B合同且A’= A, 则B’=B.
注 3: 若A与B合同且A’= -A, 则B’= - B.
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例子
例4 讨论以下运算的含义
Pij’APij
Pi(c)’A Pi(c)
Tij(c)’A Tij(c)
注 Pij’APij不能调换对角线和非对角线元素, 即对角线元素只能调换到对角线上,非对角线元素只能调换到非对角线上。只有Tij(c)’A Tij(c)才可能将0对角元变成非0。
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二次型的标准型
引理:设0≠A’=A∈Kn×n,则必存在可逆阵C,使C’AC的第(1,1)元素不等于0.
定理:设A’=A∈Kn×n,则存在可逆阵C∈Kn×n,使C’AC为对角阵.
定理’:设 f (x1…xn) 是K上n元二次型, 则存在非退化线性替换X=CY,使
注以上定理可直接从线性替换证明(选做)
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